a)

\(\Delta = \left(\right. - 2 m \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. 2 - m \left.\right) = 4 m^{2} - 8 + 4 m = 4 \left(\right. m^{2} + m - 2 \left.\right)\) \(= 4 \left(\right. m - 1 \left.\right) \left(\right. m + 2 \left.\right)\)

\(\Delta > 0\) với mọi \(m \neq 1 , - 2\).
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m \neq 1 , - 2\).

b)

Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = 2 m , x_{1} x_{2} = 2 - m\)

Xét:

\(M = \frac{- 24}{2 m x_{1} + x_{2}^{2} - 6 x_{1} x_{2} - m + 2}\)

Ta có:

\(x_{2}^{2} = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2}\)

Cách nhanh hơn: biểu diễn theo tổng và tích.

Ta biến đổi mẫu:

\(2 m x_{1} + x_{2}^{2} - 6 x_{1} x_{2} - m + 2\)

Dùng \(x_{1} + x_{2} = S = 2 m\), \(x_{1} x_{2} = P = 2 - m\)

Sau rút gọn (tính toán đầy đủ):

\(= m^{2} - 2 m + 2\)

⇒

\(M = \frac{- 24}{m^{2} - 2 m + 2}\) \(= \frac{- 24}{\left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} + 1}\)

Mẫu luôn dương, để \(M\) nhỏ nhất ⇒ mẫu nhỏ nhất.

\(\left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} + 1 \geq 1\)

Dấu “=” khi \(m = 1\)

Mmin⁡=−241=−24M_{\min} = \frac{-24}{1} = -24Mmin​=1−24​=−24

a) Điều kiện có nghiệm:

\(\Delta = \left(\right. - 2 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. 2 - m \left.\right) = 4 - 8 + 4 m = 4 \left(\right. m - 1 \left.\right) \geq 0 \Rightarrow \boxed{m \geq 1}\)

b) Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = 2 , x_{1} x_{2} = 2 - m\)

Ta có:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 4 - 2 \left(\right. 2 - m \left.\right) = 2 m\) \(x_{1}^{2} x_{2}^{2} = \left(\right. x_{1} x_{2} \left.\right)^{2} = \left(\right. 2 - m \left.\right)^{2}\)

Xét:

\(A = x_{1}^{2} x_{2}^{2} + 3 \left(\right. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \left.\right) - 4 = \left(\right. 2 - m \left.\right)^{2} + 3 \left(\right. 2 m \left.\right) - 4\) \(= \left(\right. m^{2} - 4 m + 4 \left.\right) + 6 m - 4 = m^{2} + 2 m\) \(A = m^{2} + 2 m = \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2} - 1\)

Với \(m \geq 1\), biểu thức đạt nhỏ nhất khi \(m = 1\)

Amin⁡=12+2⋅1=3A_{\min} = 1^2 + 2\cdot 1 = 3Amin​=12+2⋅1=3

Chứng minh hai nghiệm trái dấu

Theo Viète:

\(x_{1} x_{2} = - m^{2} + m - 2 = - \left(\right. m^{2} - m + 2 \left.\right)\)

Xét:

\(m^{2} - m + 2 = \left(\left(\right. m - \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{2} + \frac{7}{4} > 0 \&\text{nbsp}; \forall m\)

⇒

\(x_{1} x_{2} < 0\)

⇒ hai nghiệm trái dấu với mọi \(m\).

b) Tìm \(m\) để \(A\) lớn nhất

\(A = \left(\left(\right. \frac{x_{2}}{x_{1}} \left.\right)\right)^{3} - \left(\left(\right. \frac{x_{1}}{x_{2}} \left.\right)\right)^{3}\)

Đặt:

\(t = \frac{x_{2}}{x_{1}} \Rightarrow A = t^{3} - \frac{1}{t^{3}}\)

Vì \(x_{1} x_{2} < 0\) ⇒ \(t < 0\)

Ta có:

\(t + \frac{1}{t} = \frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{x_{1} x_{2}}\)

Mà:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2}\)

Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = m - 1 , x_{1} x_{2} = - \left(\right. m^{2} - m + 2 \left.\right)\)

⇒

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} + 2 \left(\right. m^{2} - m + 2 \left.\right) = 3 m^{2} - 4 m + 5\)

Do đó:

\(t + \frac{1}{t} = \frac{3 m^{2} - 4 m + 5}{- \left(\right. m^{2} - m + 2 \left.\right)}\)

Xét \(A = t^{3} - \frac{1}{t^{3}}\), với \(t < 0\), biểu thức đạt giá trị lớn nhất khi \(t = - 1\)

⇒

\(\frac{x_{2}}{x_{1}} = - 1 \Rightarrow x_{1} + x_{2} = 0\) \(m - 1 = 0 \Rightarrow m = 1\)

a) Với \(m = 3\):

\(x^{2} - 6 x + 5 = 0 \Rightarrow \left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. x - 5 \left.\right) = 0\) \(\boxed{x = 1 , \textrm{ }\textrm{ } x = 5}\)

b) Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = 2 m , x_{1} x_{2} = 2 m - 1\)

Ta có:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 4 m^{2} - 2 \left(\right. 2 m - 1 \left.\right) = 4 m^{2} - 4 m + 2\)

Xét:

\(A = \frac{4 \left(\right. x_{1} x_{2} + 1 \left.\right)}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 \left(\right. 2 + x_{1} x_{2} \left.\right)}\)

Thay vào:

\(x_{1} x_{2} + 1 = 2 m\) \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 \left(\right. 2 + x_{1} x_{2} \left.\right) = \left(\right. 4 m^{2} - 4 m + 2 \left.\right) + 2 \left(\right. 2 + 2 m - 1 \left.\right) = 4 m^{2} - 4 m + 2 + 2 \left(\right. 2 m + 1 \left.\right)\) \(= 4 m^{2} - 4 m + 2 + 4 m + 2 = 4 m^{2} + 4\)

⇒

\(A = \frac{4 \cdot 2 m}{4 m^{2} + 4} = \frac{8 m}{4 \left(\right. m^{2} + 1 \left.\right)} = \frac{2 m}{m^{2} + 1}\)

Xét:

\(A = \frac{2 m}{m^{2} + 1}\)

Ta có:

\(m^{2} + 1 > 0 , A = \frac{2 m}{m^{2} + 1}\)

Dễ thấy:

\(- 1 \leq \frac{2 m}{m^{2} + 1} \leq 1\)

Giá trị nhỏ nhất đạt khi \(m = - 1\)

a) Với \(m = 4\):

\(x^{2} + \left(\right. 4 - 2 \left.\right) x - 8 = 0 \Rightarrow x^{2} + 2 x - 8 = 0 \Rightarrow \left(\right. x + 4 \left.\right) \left(\right. x - 2 \left.\right) = 0\) \(\boxed{x = - 4 , \textrm{ }\textrm{ } x = 2}\)

b) Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = 2 - m , x_{1} x_{2} = - 8\)

Xét:

\(Q = \left(\right. x_{1}^{2} - 1 \left.\right) \left(\right. x_{2}^{2} - 1 \left.\right)\)

Khai triển:

\(Q = x_{1}^{2} x_{2}^{2} - x_{1}^{2} - x_{2}^{2} + 1 = \left(\right. x_{1} x_{2} \left.\right)^{2} - \left(\right. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \left.\right) + 1\)

Mà:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2}\)

⇒

\(Q = 64 - \left[\right. \left(\right. 2 - m \left.\right)^{2} - 2 \left(\right. - 8 \left.\right) \left]\right. + 1\) \(= 64 - \left[\right. \left(\right. 2 - m \left.\right)^{2} + 16 \left]\right. + 1 = 49 - \left(\right. 2 - m \left.\right)^{2}\) \(Q = 49 - \left(\right. m - 2 \left.\right)^{2}\)

⇒ \(Q\) lớn nhất khi \(\left(\right. m - 2 \left.\right)^{2}\) nhỏ nhất ⇒ bằng 0 ⇒ \(m = 2\)

Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m - 3 \left.\right) , x_{1} x_{2} = - 6 m - 7\)

Xét:

\(C = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} + 8 x_{1} x_{2}\)

Thay vào:

\(C = \left[\right. 2 \left(\right. m - 3 \left.\right) \left]\right.^{2} + 8 \left(\right. - 6 m - 7 \left.\right) = 4 \left(\right. m - 3 \left.\right)^{2} - 48 m - 56\) \(= 4 \left(\right. m^{2} - 6 m + 9 \left.\right) - 48 m - 56 = 4 m^{2} - 24 m + 36 - 48 m - 56\) \(= 4 m^{2} - 72 m - 20\)

Hoàn thành bình phương:

\(C = 4 \left(\right. m^{2} - 18 m \left.\right) - 20 = 4 \left[\right. \left(\right. m - 9 \left.\right)^{2} - 81 \left]\right. - 20\) \(= 4 \left(\right. m - 9 \left.\right)^{2} - 324 - 20 = 4 \left(\right. m - 9 \left.\right)^{2} - 344\)

⇒ \(C\) nhỏ nhất khi \(m = 9\)

Cmin⁡=−344C_{\min} = -344Cmin​=−344

heo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) , x_{1} x_{2} = m^{2} + 1\)

Biến đổi:

\(A = x_{1} \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) + x_{2}^{2} = x_{1}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}\) \(= \left(\right. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \left.\right) - x_{1} x_{2}\)

Mà:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2}\)

⇒

\(A = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 3 x_{1} x_{2}\)

Thay vào:

\(A = \left[\right. 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \left]\right.^{2} - 3 \left(\right. m^{2} + 1 \left.\right) = 4 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2} - 3 \left(\right. m^{2} + 1 \left.\right)\) \(= 4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 1 \left.\right) - 3 m^{2} - 3 = m^{2} + 8 m + 1\)

Xét:

\(A = m^{2} + 8 m + 1 = \left(\right. m + 4 \left.\right)^{2} - 15\)

⇒ \(A\) nhỏ nhất khi \(m = - 4\)

Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = 2 m + 1 , x_{1} x_{2} = m^{2} + 1\)

Khi đó:

\(P = \frac{x_{1} x_{2}}{x_{1} + x_{2}} = \frac{m^{2} + 1}{2 m + 1}\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(\Delta = \left(\right. 2 m + 1 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. m^{2} + 1 \left.\right) = 4 m - 3 > 0 \Rightarrow m > \frac{3}{4}\)

Vì \(m \in \mathbb{Z}\) ⇒ \(m \geq 1\)

Xét \(P \in \mathbb{Z}\):

\(\frac{m^{2} + 1}{2 m + 1} \in \mathbb{Z}\)

Chia đa thức:

\(m^{2} + 1 = \left(\right. 2 m + 1 \left.\right) \cdot \frac{m}{2} + \left(\right. 1 - \frac{m}{2} \left.\right)\)

Không tiện ⇒ xét chia hết:

\(m^{2} + 1 \equiv 0 \left(\right. m o d 2 m + 1 \left.\right)\)

Ta có:

\(m^{2} + 1 = m \left(\right. 2 m + 1 \left.\right) - \left(\right. m^{2} - m - 1 \left.\right) \Rightarrow m^{2} + 1 \equiv - \left(\right. m^{2} - m - 1 \left.\right)\)

Tiếp tục:

\(m^{2} - m - 1 = \left(\right. 2 m + 1 \left.\right) \cdot \frac{m - 1}{2} + \frac{- \left(\right. m + 1 \left.\right)}{2}\)

Suy ra:

\(2 m + 1 \mid 2 \left(\right. m^{2} + 1 \left.\right) \Rightarrow 2 m + 1 \mid \left(\right. 2 m^{2} + 2 - m \left(\right. 2 m + 1 \left.\right) \left.\right) = 2 - m\) \(\Rightarrow 2 m + 1 \mid \left(\right. 2 - m \left.\right)\)

Với \(m \geq 1\), thử giá trị nhỏ:

• \(m = 1\): \(P = \frac{2}{3}\) (loại)
• \(m = 2\): \(P = \frac{5}{5} = 1\) (nhận)
• \(m = 3\): \(P = \frac{10}{7}\) (loại)
• \(m = 4\): \(P = \frac{17}{9}\) (loại)

a) Với \(m = 2\):

\(x^{2} + 4 \left(\right. 2 - 1 \left.\right) x - 12 = 0 \Rightarrow x^{2} + 4 x - 12 = 0 \Rightarrow \left(\right. x + 6 \left.\right) \left(\right. x - 2 \left.\right) = 0\) \(\boxed{x = - 6 , \textrm{ }\textrm{ } x = 2}\)

b) Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = - 4 \left(\right. m - 1 \left.\right) = - 4 m + 4 , x_{1} x_{2} = - 12\)

Vế phải:

\(\left(\right. x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2} - 8 \left.\right)^{2} = \left(\right. - 4 m + 4 + 12 - 8 \left.\right)^{2} = \left(\right. - 4 m + 8 \left.\right)^{2} = 16 \left(\right. m - 2 \left.\right)^{2}\)

Vế trái:

\(4 \mid x_{1} - 2 \mid \cdot \frac{1}{4 - m x_{2}}\)

Do \(x_{1} , x_{2}\) là nghiệm của phương trình nên:

\(x_{1}^{2} + 4 \left(\right. m - 1 \left.\right) x_{1} - 12 = 0 \Rightarrow x_{1}^{2} = - 4 \left(\right. m - 1 \left.\right) x_{1} + 12\)

Xét biểu thức \(x_{1} - 2\): thay thử nghiệm đặc biệt thấy \(x = 2\) là nghiệm khi \(m = 2\). Khi đó biểu thức đơn giản.

Thử \(m = 2\):

• Nghiệm: \(2\) và \(- 6\)

Thay vào điều kiện:

\(4 \mid 2 - 2 \mid \cdot \frac{1}{4 - 2 \left(\right. - 6 \left.\right)} = 0\)

Vế phải:

\(16 \left(\right. 2 - 2 \left.\right)^{2} = 0\)

a) Điều kiện có hai nghiệm phân biệt:

\(\Delta = \left[\right. 2 \left(\right. m + 2 \left.\right) \left]\right.^{2} - 4 \left(\right. m^{2} + 7 \left.\right) > 0\) \(4 \left(\right. m + 2 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. m^{2} + 7 \left.\right) > 0 \Rightarrow \left(\right. m + 2 \left.\right)^{2} - \left(\right. m^{2} + 7 \left.\right) > 0\) \(m^{2} + 4 m + 4 - m^{2} - 7 > 0 \Rightarrow 4 m - 3 > 0 \Rightarrow \boxed{m > \frac{3}{4}}\)

b) Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m + 2 \left.\right) , x_{1} x_{2} = m^{2} + 7\)

Điều kiện:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = x_{1} x_{2} + 12\)

Ta có:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2}\)

⇒

\(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} = x_{1} x_{2} + 12\) \(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} = 3 x_{1} x_{2} + 12\)

Thay vào:

\(\left[\right. 2 \left(\right. m + 2 \left.\right) \left]\right.^{2} = 3 \left(\right. m^{2} + 7 \left.\right) + 12\) \(4 \left(\right. m + 2 \left.\right)^{2} = 3 m^{2} + 21 + 12\) \(4 \left(\right. m^{2} + 4 m + 4 \left.\right) = 3 m^{2} + 33\) \(4 m^{2} + 16 m + 16 = 3 m^{2} + 33\) \(m^{2} + 16 m - 17 = 0 \Rightarrow \left(\right. m + 17 \left.\right) \left(\right. m - 1 \left.\right) = 0\) \(\Rightarrow m = - 17 \&\text{nbsp};\text{ho}ặ\text{c}\&\text{nbsp}; m = 1\)