a) Chứng minh luôn có hai nghiệm phân biệt

Xét:

\(\Delta = \left[\right. - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \left]\right.^{2} - 4 \left(\right. 2 m - 2 \left.\right) = 4 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2} - 8 m + 8\) \(= 4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 1 - 2 m + 2 \left.\right) = 4 \left(\right. m^{2} + 3 \left.\right) > 0 \&\text{nbsp}; \forall m\)

⇒ Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

b) Tính \(B\)

Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) , x_{1} x_{2} = 2 m - 2\)

Vì \(x_{1}\) là nghiệm nên:

\(x_{1}^{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1} - \left(\right. 2 m - 2 \left.\right)\)

Thay vào \(B\):

\(B = x_{1}^{2} + 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{2} + 2 m - 2\) \(= \left[\right. 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1} - \left(\right. 2 m - 2 \left.\right) \left]\right. + 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{2} + 2 m - 2\)

Rút gọn:

\(B = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\)

Thay tổng nghiệm:

\(B = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \cdot 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) = 4 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2}\)

a) Chứng minh luôn có hai nghiệm trái dấu

Xét biệt thức:

\(\Delta = m^{2} + 4 > 0 \&\text{nbsp}; \forall m\)

⇒ phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Gọi \(x_{1} , x_{2}\) là hai nghiệm, theo Viète:

\(x_{1} x_{2} = - 1 < 0\)

⇒ Tích hai nghiệm âm ⇒ hai nghiệm trái dấu.

b) Tính giá trị \(A\)

Ta có:

\(A = \frac{x_{1}^{2} + x_{1} - 1}{x_{1}} - \frac{x_{2}^{2} + x_{2} - 1}{x_{2}}\)

Vì \(x_{1} , x_{2}\) là nghiệm nên:

\(x^{2} = m x + 1\)

Thay vào:

\(x_{i}^{2} + x_{i} - 1 = \left(\right. m x_{i} + 1 \left.\right) + x_{i} - 1 = \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{i}\)

suy ra

\(\frac{x_{i}^{2} + x_{i} - 1}{x_{i}} = m + 1\)

Do đó:

\(A = \left(\right. m + 1 \left.\right) - \left(\right. m + 1 \left.\right) = 0\)