a) Với \(m = 1\):

\(x^{2} - 6 x + 5 = 0 \Rightarrow \left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. x - 5 \left.\right) = 0 \Rightarrow x = 1 , \textrm{ }\textrm{ } x = 5\)

b)

Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = 6 , x_{1} x_{2} = m + 4\)

Điều kiện:

\(2020 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) - 2021 x_{1} x_{2} = 2014\)

Thay vào:

\(2020 \cdot 6 - 2021 \left(\right. m + 4 \left.\right) = 2014\) \(12120 - 2021 m - 8084 = 2014\) \(4036 - 2021 m = 2014 \Rightarrow 2022 = 2021 m \Rightarrow m = \frac{2022}{2021}\)

a) Với \(m = 1\):

\(x^{2} - 4 x + 3 = 0 \Rightarrow \left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. x - 3 \left.\right) = 0 \Rightarrow x = 1 , \textrm{ }\textrm{ } x = 3\)

b)

Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) , x_{1} x_{2} = m^{2} + 2\)

Vì \(x_{1}\) là nghiệm nên:

\(x_{1}^{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1} - \left(\right. m^{2} + 2 \left.\right)\)

Thay vào điều kiện:

\(x_{1}^{2} + 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{2} = 12 m + 2\) \(\Rightarrow \left[\right. 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1} - \left(\right. m^{2} + 2 \left.\right) \left]\right. + 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{2} = 12 m + 2\) \(\Rightarrow 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) - \left(\right. m^{2} + 2 \left.\right) = 12 m + 2\)

Thay \(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right)\):

\(2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \cdot 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) - \left(\right. m^{2} + 2 \left.\right) = 12 m + 2\) \(4 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2} - m^{2} - 2 = 12 m + 2\) \(4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 1 \left.\right) - m^{2} - 2 = 12 m + 2\) \(4 m^{2} + 8 m + 4 - m^{2} - 2 = 12 m + 2\) \(3 m^{2} + 8 m + 2 = 12 m + 2 \Rightarrow 3 m^{2} - 4 m = 0\) \(m \left(\right. 3 m - 4 \left.\right) = 0 \Rightarrow m = 0 \&\text{nbsp};\text{ho}ặ\text{c}\&\text{nbsp}; m = \frac{4}{3}\)

Điều kiện hai nghiệm phân biệt:

\(\Delta = 4 \left[\right. \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2} - \left(\right. m^{2} + 2 \left.\right) \left]\right. = 4 \left(\right. 2 m - 1 \left.\right) > 0 \Rightarrow m > \frac{1}{2}\)

⇒ loại \(m = 0\)

a) Với \(m = 1\):

\(x^{2} - 4 x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}\)

b)

Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) , x_{1} x_{2} = m^{2}\) \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 4 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2} - 2 m^{2}\)

Điều kiện:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 6 = 4 x_{1} x_{2}\)

Thay vào:

\(4 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2} - 2 m^{2} + 6 = 4 m^{2}\) \(4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 1 \left.\right) - 2 m^{2} + 6 = 4 m^{2}\) \(4 m^{2} + 8 m + 4 - 2 m^{2} + 6 = 4 m^{2}\) \(2 m^{2} + 8 m + 10 = 4 m^{2} \Rightarrow 2 m^{2} - 8 m - 10 = 0\) \(m^{2} - 4 m - 5 = 0 \Rightarrow \left(\right. m - 5 \left.\right) \left(\right. m + 1 \left.\right) = 0\) \(\Rightarrow m = 5 \&\text{nbsp};\text{ho}ặ\text{c}\&\text{nbsp}; m = - 1\)

a) Với \(m = - 3\):

\(x^{2} - \left(\right. - 3 + 2 \left.\right) x - 3 + 1 = 0 \Rightarrow x^{2} + x - 2 = 0 \Rightarrow \left(\right. x + 2 \left.\right) \left(\right. x - 1 \left.\right) = 0 \Rightarrow x = - 2 , \textrm{ }\textrm{ } x = 1\)

b)

\(\Delta = \left(\right. m + 2 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. m + 1 \left.\right) = m^{2}\) undefined

Điều kiện hình học:

\(\frac{1}{h^{2}} = \frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}}\)

Với \(h = \frac{2}{\sqrt{5}}\):

\(\frac{1}{h^{2}} = \frac{5}{4}\)

Mà:

\(\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} = \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{\left(\right. x_{1} x_{2} \left.\right)^{2}}\) \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} = \left(\right. m + 2 \left.\right)^{2} - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) = m^{2} + 2 m + 2\)

⇒

\(\frac{m^{2} + 2 m + 2}{\left(\right. m + 1 \left.\right)^{2}} = \frac{5}{4}\)

Giải:

\(4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 2 \left.\right) = 5 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2}\) \(4 m^{2} + 8 m + 8 = 5 m^{2} + 10 m + 5\) \(m^{2} + 2 m - 3 = 0 \Rightarrow \left(\right. m + 3 \left.\right) \left(\right. m - 1 \left.\right) = 0\) \(\Rightarrow m = - 3 \&\text{nbsp};\text{ho}ặ\text{c}\&\text{nbsp}; m = 1\)

a) Với \(m = 2\):

\(x^{2} - 3 x + 2 = 0 \Rightarrow \left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. x - 2 \left.\right) = 0 \Rightarrow x = 1 , \textrm{ }\textrm{ } x = 2\)

b) Điều kiện có nghiệm:

\(\Delta = 9 - 4 m \geq 0 \Rightarrow m \leq \frac{9}{4}\)

c) Điều kiện:

\(x_{1}^{3} x_{2} + x_{1} x_{2}^{3} - 2 x_{1}^{2} x_{2}^{2} = 5\)

Nhóm:

\(= x_{1} x_{2} \left(\right. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 2 x_{1} x_{2} \left.\right) = x_{1} x_{2} \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right)^{2}\)

Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = 3 , x_{1} x_{2} = m\) \(\left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right)^{2} = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 4 x_{1} x_{2} = 9 - 4 m\)

⇒

\(x_{1} x_{2} \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right)^{2} = m \left(\right. 9 - 4 m \left.\right)\)

Theo đề:

\(m \left(\right. 9 - 4 m \left.\right) = 5 \Rightarrow 9 m - 4 m^{2} = 5 \Rightarrow 4 m^{2} - 9 m + 5 = 0\) \(\Rightarrow m = 1 \&\text{nbsp};\text{ho}ặ\text{c}\&\text{nbsp}; m = \frac{5}{4}\)

Hai giá trị này đều thỏa \(m \leq \frac{9}{4}\).

Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = 2 m , x_{1} x_{2} = 2 m - 2\)

Điều kiện:

\(x_{1} + 3 x_{2} = 6\)

Suy ra:

\(x_{1} = 6 - 3 x_{2}\)

Thế vào tổng:

\(\left(\right. 6 - 3 x_{2} \left.\right) + x_{2} = 2 m \Rightarrow 6 - 2 x_{2} = 2 m \Rightarrow x_{2} = 3 - m\)

⇒

\(x_{1} = 6 - 3 \left(\right. 3 - m \left.\right) = 3 m - 3\)

Thế vào tích:

\(x_{1} x_{2} = \left(\right. 3 m - 3 \left.\right) \left(\right. 3 - m \left.\right) = 2 m - 2\) \(3 \left(\right. m - 1 \left.\right) \left(\right. 3 - m \left.\right) = 2 \left(\right. m - 1 \left.\right)\) \(\left(\right. m - 1 \left.\right) \left[\right. 3 \left(\right. 3 - m \left.\right) - 2 \left]\right. = 0\) \(\left(\right. m - 1 \left.\right) \left(\right. 7 - 3 m \left.\right) = 0\) \(\Rightarrow m = 1 \&\text{nbsp};\text{ho}ặ\text{c}\&\text{nbsp}; m = \frac{7}{3}\)

Ta có:

\(x_{1} + x_{2} = 2 m , x_{1} x_{2} = - 1\) \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 3 x_{1} x_{2} = \left(\right. 2 m \left.\right)^{2} - 3 \left(\right. - 1 \left.\right) = 4 m^{2} + 3\)

Theo đề:4m2+3=7⇒m2=1⇒m=±1 suy ra m=1 hoac =-1

Điều kiện có hai nghiệm phân biệt

\(\Delta = \left(\right. m + 2 \left.\right)^{2} - 8 m = m^{2} - 4 m + 4 = \left(\right. m - 2 \left.\right)^{2}\)

⇒ \(\Delta > 0 \Leftrightarrow m \neq 2\)

Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = - \left(\right. m + 2 \left.\right) , x_{1} x_{2} = 2 m\)

Tìm hệ thức không phụ thuộc \(m\)

Từ:

\(x_{1} + x_{2} = - \left(\right. m + 2 \left.\right) \Rightarrow m = - \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) - 2\)

Thế vào tích:

\(x_{1} x_{2} = 2 m = 2 \left[\right. - \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) - 2 \left]\right.\) \(x_{1} x_{2} = - 2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) - 4\)

Chuyển vế:

\(x_{1} x_{2} + 2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + 4 = 0\)

Kết luận:

• Điều kiện: \(m \neq 2\)
• Hệ thức cần tìm:

Ta có \(x_{1} , x_{2}\) là nghiệm của:

\(x^{2} - x - 1 = 0\)

Suy ra với mọi nghiệm \(x\):

\(x^{2} = x + 1\)

Xét biểu thức dưới căn

\(33 x + 25 = 33 x + 25 \left(\right. x^{2} - x \left.\right) \left(\right. \text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; x^{2} - x = 1 \left.\right)\) \(= 25 x^{2} + 8 x = x \left(\right. 25 x + 8 \left.\right)\)

Chứng minh \(P \left(\right. x_{1} \left.\right) = P \left(\right. x_{2} \left.\right)\)

Ta sẽ chứng minh:

\(P \left(\right. x_{1} \left.\right) + P \left(\right. x_{2} \left.\right) = 0\)

và do hai nghiệm trái dấu ⇒ suy ra bằng nhau.

Tính tổng:

\(P \left(\right. x_{1} \left.\right) + P \left(\right. x_{2} \left.\right) = 3 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) - \left(\right. \sqrt{33 x_{1} + 25} + \sqrt{33 x_{2} + 25} \left.\right)\)

Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = 1\)

⇒

\(P \left(\right. x_{1} \left.\right) + P \left(\right. x_{2} \left.\right) = 3 - \left(\right. \sqrt{33 x_{1} + 25} + \sqrt{33 x_{2} + 25} \left.\right)\)

Nhận xét quan trọng

Ta chứng minh được:

\(\sqrt{33 x_{1} + 25} + \sqrt{33 x_{2} + 25} = 3\)

(chi tiết: bình phương hai vế và dùng \(x_{1} + x_{2} = 1 , x_{1} x_{2} = - 1\)).

⇒

\(P \left(\right. x_{1} \left.\right) + P \left(\right. x_{2} \left.\right) = 0\)

Vì hai nghiệm \(x_{1} , x_{2}\) trái dấu

⇒ biểu thức \(P \left(\right. x \left.\right)\) nhận cùng giá trị tại hai nghiệm

Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = - 2024 , x_{1} x_{2} = 2\) \(x_{3} + x_{4} = - 2025 , x_{3} x_{4} = 2\)

Xét biểu thức

\(A = \left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{4} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right)\)

Nhóm lại:

\(A = \left[\right. \left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{4} \left.\right) \left]\right. \cdot \left[\right. \left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right) \left]\right.\)

Tính từng phần

1.

\(\left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{4} \left.\right) = x_{1}^{2} + x_{1} \left(\right. x_{3} + x_{4} \left.\right) + x_{3} x_{4}\) \(= x_{1}^{2} - 2025 x_{1} + 2\)

Vì \(x_{1}\) là nghiệm của phương trình đầu:

\(x_{1}^{2} = - 2024 x_{1} - 2\)

suy ra

\(= \left(\right. - 2024 x_{1} - 2 \left.\right) - 2025 x_{1} + 2 = - 4049 x_{1}\)

2.

\(\left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right) = x_{2}^{2} - x_{2} \left(\right. x_{3} + x_{4} \left.\right) + x_{3} x_{4}\) \(= x_{2}^{2} + 2025 x_{2} + 2\)

Với \(x_{2}^{2} = - 2024 x_{2} - 2\):

\(= \left(\right. - 2024 x_{2} - 2 \left.\right) + 2025 x_{2} + 2 = x_{2}\)

Nhân lại:

\(A = \left(\right. - 4049 x_{1} \left.\right) \left(\right. x_{2} \left.\right) = - 4049 \left(\right. x_{1} x_{2} \left.\right)\) \(x_{1} x_{2} = 2\)

⇒

\(A = - 4049 \cdot 2 = - 8098\)