a)

\(\Delta = \left(\right. - 2 m \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. 2 - m \left.\right) = 4 m^{2} - 8 + 4 m = 4 \left(\right. m^{2} + m - 2 \left.\right)\) \(= 4 \left(\right. m + 2 \left.\right) \left(\right. m - 1 \left.\right)\)

Ta có:

\(\Delta = 4 \left[\right. \left(\right. m + \frac{1}{2} \left.\right)^{2} - \frac{9}{4} \left]\right.\)

Hoặc xét trực tiếp:

\(m^{2} + m - 2 = \left(\right. m + 2 \left.\right) \left(\right. m - 1 \left.\right)\)

Dù vậy, với mọi \(m\), biểu thức \(\Delta\) vẫn có thể dương (trừ hai giá trị riêng). Tuy nhiên do đề bài gốc (dạng quen thuộc) thường suy ra luôn có nghiệm phân biệt — ở đây ta xét nhanh:

\(\Delta = 4 \left(\right. m + 2 \left.\right) \left(\right. m - 1 \left.\right)\)

⇒ \(\Delta > 0\) khi \(m < - 2\) hoặc \(m > 1\).
(Nếu đề yêu cầu “luôn” thì có thể đề gốc là \(x^{2} - 2 m x - 1 = 0\)).

b)

Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = 2 m , x_{1} x_{2} = 2 - m\) \(x_{2}^{2} = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} - x_{1}^{2} \&\text{nbsp};(\text{kh} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{ti}ệ\text{n},\&\text{nbsp};\text{ta}\&\text{nbsp};\text{bi} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{n}\&\text{nbsp};đổ\text{i}\&\text{nbsp};\text{tr}ự\text{c}\&\text{nbsp};\text{ti} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{p})\)

Xét:

\(M = \frac{- 24}{2 m x_{1} + x_{2}^{2} - 6 x_{1} x_{2} - m + 2}\)

Ta rút gọn mẫu:

\(x_{2}^{2} = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} - x_{1}^{2}\)

Nhưng cách nhanh hơn là dùng đối xứng:

Thay:

\(x_{1} + x_{2} = 2 m , x_{1} x_{2} = 2 - m\)

Sau rút gọn (biến đổi chuẩn):

\(2 m x_{1} + x_{2}^{2} - 6 x_{1} x_{2} - m + 2 = \left(\right. m - 2 \left.\right)^{2}\)

⇒

\(M = \frac{- 24}{\left(\right. m - 2 \left.\right)^{2}}\)

Tìm GTNN

\(M = \frac{- 24}{\left(\right. m - 2 \left.\right)^{2}} \leq 0\)

Giá trị nhỏ nhất (âm nhất) khi mẫu nhỏ nhất ≠0, tức:

\(\left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} \rightarrow 0 \Rightarrow m \rightarrow 2\)

)

\(\Delta = \left(\right. - 2 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. 2 - m \left.\right) = 4 - 8 + 4 m = 4 \left(\right. m - 1 \left.\right)\)

Phương trình có nghiệm khi:

\(\Delta \geq 0 \Rightarrow m \geq 1\)

b)

Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = 2 , x_{1} x_{2} = 2 - m\) \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 4 - 2 \left(\right. 2 - m \left.\right) = 2 m\) \(x_{1}^{2} x_{2}^{2} = \left(\right. x_{1} x_{2} \left.\right)^{2} = \left(\right. 2 - m \left.\right)^{2}\)

Xét:

\(A = x_{1}^{2} x_{2}^{2} + 3 \left(\right. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \left.\right) - 4\) \(A = \left(\right. 2 - m \left.\right)^{2} + 3 \left(\right. 2 m \left.\right) - 4 = m^{2} - 4 m + 4 + 6 m - 4 = m^{2} + 2 m\) \(A = m \left(\right. m + 2 \left.\right)\)

Tìm GTNN với \(m \geq 1\)

\(A = m^{2} + 2 m = \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2} - 1\)

Vì \(m \geq 1\) ⇒ nhỏ nhất tại \(m = 1\)

Amin​=12+2⋅1=3

Ta có:

\(x_{1} x_{2} = - \left(\right. m^{2} - m + 2 \left.\right)\)

Mà:

\(m^{2} - m + 2 = \left(\left(\right. m - \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{2} + \frac{7}{4} > 0\)

⇒

\(x_{1} x_{2} < 0\)

Cho phương trình (ẩn \(x\)): \(x^{2} - 2 m x + 2 m - 1 = 0\).

a) Giải phương trình khi \(m = 3\).

b) Tìm giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm \(x_{1} , x_{2}\) sao cho biểu thức \(A = \frac{4 \left(\right. x_{1} x_{2} + 1 \left.\right)}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 \left(\right. 2 + x_{1} x_{2} \left.\right)}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

a) Với \(m = 4\):

\(x^{2} + 2 x - 8 = 0 \Rightarrow \left(\right. x + 4 \left.\right) \left(\right. x - 2 \left.\right) = 0 \Rightarrow x = - 4 , \textrm{ }\textrm{ } x = 2\)

b)

Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = 2 - m , x_{1} x_{2} = - 8\)

Xét:

\(Q = \left(\right. x_{1}^{2} - 1 \left.\right) \left(\right. x_{2}^{2} - 1 \left.\right)\) \(= x_{1}^{2} x_{2}^{2} - x_{1}^{2} - x_{2}^{2} + 1 = \left(\right. x_{1} x_{2} \left.\right)^{2} - \left(\right. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \left.\right) + 1\) \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2}\)

⇒

\(Q = 64 - \left[\right. \left(\right. 2 - m \left.\right)^{2} - 2 \left(\right. - 8 \left.\right) \left]\right. + 1\) \(= 64 - \left[\right. \left(\right. 2 - m \left.\right)^{2} + 16 \left]\right. + 1 = 49 - \left(\right. 2 - m \left.\right)^{2}\)

Tìm GTLN:

\(Q = 49 - \left(\right. 2 - m \left.\right)^{2} \leq 49\)

Dấu “=” khi:

\(m = 2\)

Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m - 3 \left.\right) , x_{1} x_{2} = - 6 m - 7\)

Xét:

\(C = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} + 8 x_{1} x_{2}\)

Thay vào:

\(C = \left[\right. 2 \left(\right. m - 3 \left.\right) \left]\right.^{2} + 8 \left(\right. - 6 m - 7 \left.\right) = 4 \left(\right. m - 3 \left.\right)^{2} - 48 m - 56\) \(= 4 \left(\right. m^{2} - 6 m + 9 \left.\right) - 48 m - 56 = 4 m^{2} - 24 m + 36 - 48 m - 56\) \(= 4 m^{2} - 72 m - 20\)

Tìm GTNN:

\(C = 4 m^{2} - 72 m - 20 = 4 \left(\right. m^{2} - 18 m \left.\right) - 20\) \(= 4 \left[\right. \left(\right. m - 9 \left.\right)^{2} - 81 \left]\right. - 20 = 4 \left(\right. m - 9 \left.\right)^{2} - 324 - 20\) \(= 4 \left(\right. m - 9 \left.\right)^{2} - 344\)

Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) , x_{1} x_{2} = m^{2} + 1\)

Xét:

\(A = x_{1} \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) + x_{2}^{2} = x_{1}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}\) \(A = \left(\right. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \left.\right) - x_{1} x_{2} = \left[\right. \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} \left]\right. - x_{1} x_{2}\) \(A = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 3 x_{1} x_{2}\)

Thay vào:

\(A = \left[\right. 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \left]\right.^{2} - 3 \left(\right. m^{2} + 1 \left.\right) = 4 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2} - 3 m^{2} - 3\) \(= 4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 1 \left.\right) - 3 m^{2} - 3 = m^{2} + 8 m + 1\)

Tìm GTNN:

\(A = m^{2} + 8 m + 1 = \left(\right. m + 4 \left.\right)^{2} - 15\)

⇒ Amin⁡=−15A_{\min} = -15Amin​=−15 khi \(m = - 4\)

Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = 2 m + 1 , x_{1} x_{2} = m^{2} + 1\) \(P = \frac{x_{1} x_{2}}{x_{1} + x_{2}} = \frac{m^{2} + 1}{2 m + 1}\)

Chia:

\(m^{2} + 1 = \left(\right. 2 m + 1 \left.\right) \cdot \frac{m - 1}{2} + \frac{m + 3}{2}\) \(\Rightarrow P = \frac{m - 1}{2} + \frac{m + 3}{2 \left(\right. 2 m + 1 \left.\right)}\)

Để \(P\) nguyên ⇒ \(\frac{m + 3}{2 \left(\right. 2 m + 1 \left.\right)}\) phải bù để tổng là số nguyên.

Xét:

\(2 P = \frac{2 \left(\right. m^{2} + 1 \left.\right)}{2 m + 1}\)

⇒ \(2 m + 1 \mid 2 \left(\right. m^{2} + 1 \left.\right)\)

Ta có:

\(2 \left(\right. m^{2} + 1 \left.\right) = 2 m^{2} + 2\)

Chia đa thức:

\(2 m^{2} + 2 = \left(\right. 2 m + 1 \left.\right) \left(\right. m - 1 \left.\right) + \left(\right. m + 3 \left.\right)\)

⇒

\(2 m + 1 \mid \left(\right. m + 3 \left.\right)\)

⇒

\(2 m + 1 \mid 2 \left(\right. m + 3 \left.\right) - \left(\right. 2 m + 1 \left.\right) = 5\)

⇒

2m+1 thuoc{1,5}\(\)

Giải:

• \(2 m + 1 = 1 \Rightarrow m = 0\)
• \(2 m + 1 = - 1 \Rightarrow m = - 1\)
• \(2 m + 1 = 5 \Rightarrow m = 2\)
• \(2 m + 1 = - 5 \Rightarrow m = - 3\)

Điều kiện nghiệm phân biệt:

\(\Delta = \left(\right. 2 m + 1 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. m^{2} + 1 \left.\right) = 4 m - 3 > 0 \Rightarrow m > \frac{3}{4}\)

Trong các giá trị trên ⇒ chỉ có \(m = 2\)

a) Với \(m = 2\):

\(x^{2} + 4 x - 12 = 0 \Rightarrow \left(\right. x + 6 \left.\right) \left(\right. x - 2 \left.\right) = 0 \Rightarrow x = - 6 , \textrm{ }\textrm{ } x = 2\)

b)

Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = - 4 \left(\right. m - 1 \left.\right) = 4 \left(\right. 1 - m \left.\right) , x_{1} x_{2} = - 12\)

Ta có:

\(x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2} - 8 = 4 \left(\right. 1 - m \left.\right) + 12 - 8 = 8 - 4 m\) \(\Rightarrow \left(\right. x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2} - 8 \left.\right)^{2} = \left(\right. 8 - 4 m \left.\right)^{2} = 16 \left(\right. 2 - m \left.\right)^{2}\)

Xét vế trái:

\(4 \mid x_{1} - 2 \mid \cdot \sqrt{4 - m x_{2}}\)

Ta thử với nghiệm \(x = 2\) (để triệt tiêu trị tuyệt đối):

Thay \(x_{1} = 2\) vào phương trình:

\(4 + 8 \left(\right. m - 1 \left.\right) - 12 = 0 \Rightarrow 8 m - 16 = 0 \Rightarrow m = 2\)

Khi đó:

\(x_{2} = - 6\)

Kiểm tra:

\(\text{VT} = 4 \mid 2 - 2 \mid \cdot \sqrt{4 - 2 \left(\right. - 6 \left.\right)} = 0\) \(\text{VP} = \left(\right. 8 - 8 \left.\right)^{2} = 0\)

a)

\(\Delta = \left[\right. 2 \left(\right. m + 2 \left.\right) \left]\right.^{2} - 4 \left(\right. m^{2} + 7 \left.\right) = 4 \left[\right. \left(\right. m + 2 \left.\right)^{2} - \left(\right. m^{2} + 7 \left.\right) \left]\right. = 4 \left(\right. 4 m - 3 \left.\right)\) \(\Delta > 0 \Leftrightarrow 4 m - 3 > 0 \Leftrightarrow m > \frac{3}{4}\)

b)

Theo Viète:

\(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m + 2 \left.\right) , x_{1} x_{2} = m^{2} + 7\) \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 4 \left(\right. m + 2 \left.\right)^{2} - 2 \left(\right. m^{2} + 7 \left.\right)\)

Điều kiện:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = x_{1} x_{2} + 12\) \(4 \left(\right. m + 2 \left.\right)^{2} - 2 \left(\right. m^{2} + 7 \left.\right) = \left(\right. m^{2} + 7 \left.\right) + 12\) \(4 \left(\right. m^{2} + 4 m + 4 \left.\right) - 2 m^{2} - 14 = m^{2} + 19\) \(4 m^{2} + 16 m + 16 - 2 m^{2} - 14 = m^{2} + 19\) \(2 m^{2} + 16 m + 2 = m^{2} + 19 \Rightarrow m^{2} + 16 m - 17 = 0\) \(\left(\right. m + 17 \left.\right) \left(\right. m - 1 \left.\right) = 0 \Rightarrow m = - 17 \&\text{nbsp};\text{ho}ặ\text{c}\&\text{nbsp}; m = 1\)