Xét phương trình:

\(x^{2} - 2 \left(\right. m - 3 \left.\right) x - 6 m - 7 = 0 \left(\right. 1 \left.\right)\)

Gọi \(x_{1} , x_{2}\) là hai nghiệm của phương trình. Theo hệ thức Viète, ta có:

\(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m - 3 \left.\right) , x_{1} x_{2} = - 6 m - 7\)

Xét biểu thức:

\(C = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} + 8 x_{1} x_{2}\)

Thay các giá trị theo Viète:

\(C = \left[\right. 2 \left(\right. m - 3 \left.\right) \left]\right.^{2} + 8 \left(\right. - 6 m - 7 \left.\right)\) \(= 4 \left(\right. m - 3 \left.\right)^{2} - 48 m - 56\) \(= 4 \left(\right. m^{2} - 6 m + 9 \left.\right) - 48 m - 56\) \(= 4 m^{2} - 24 m + 36 - 48 m - 56 = 4 m^{2} - 72 m - 20\)

Xét:

\(C = 4 m^{2} - 72 m - 20 = 4 \left(\right. m^{2} - 18 m \left.\right) - 20\) \(= 4 \left[\right. \left(\right. m - 9 \left.\right)^{2} - 81 \left]\right. - 20 = 4 \left(\right. m - 9 \left.\right)^{2} - 324 - 20 = 4 \left(\right. m - 9 \left.\right)^{2} - 344\)

Do đó, \(C\) đạt giá trị nhỏ nhất khi:

\(m = 9\)

Khi đó:

Cmin⁡ = −344

Kết luận:

Cmin = -344 khi m=9

Xét phương trình:

\(x^{2} - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x + m^{2} + 1 = 0 \left(\right. 1 \left.\right)\)

Gọi \(x_{1} , x_{2}\) là hai nghiệm của phương trình. Theo hệ thức Viète, ta có:

\(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) , x_{1} x_{2} = m^{2} + 1\)

Xét biểu thức:

\(A = x_{1} \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) + x_{2}^{2}\)

Ta biến đổi:

\(A = x_{1}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} = \left(\right. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \left.\right) - x_{1} x_{2}\)

Mà:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2}\)

Suy ra:

\(A = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 3 x_{1} x_{2}\)

Thay các giá trị theo Viète:

\(A = \left[\right. 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \left]\right.^{2} - 3 \left(\right. m^{2} + 1 \left.\right) = 4 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2} - 3 m^{2} - 3\) \(= 4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 1 \left.\right) - 3 m^{2} - 3 = m^{2} + 8 m + 1\)

Xét biểu thức:

\(A = m^{2} + 8 m + 1 = \left(\right. m + 4 \left.\right)^{2} - 15\)

Do đó, \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất khi:

\(m = - 4\)

Giá trị của \(m\) để biểu thức \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất là m = -4