Ta có: \(\Delta = \left(\right. m + 2 \left.\right)^{2} - 8 m = m^{2} - 4 m + 4 = \left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} \geq 0 , \forall m\).

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} , x_{2}\) với mọi \(m\) khi \(m \neq 2\).

Áp dụng hệ thức Viète ta có \(x_{1} + x_{2} = - m - 2 ; x_{1} x_{2} = 2 m\)

\(2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) = - 2 m - 4 ; x_{1} x_{2} = 2 m\)

\(2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + x_{1} x_{2} = - 4\)

Biểu thức liên hệ giữa \(x_{1} , x_{2}\) không phụ thuộc vào tham số \(m\) là \(2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + x_{1} x_{2} = - 4\).

Ta có \(a . c = - 1 < 0\) nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm \(x_{1} , x_{2}\) phân biệt.

Theo định lí Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = 1\) và \(x_{1} . x_{2} = - 1\)

Ta có:

\(P \left(\right. x_{1} \left.\right) = P \left(\right. x_{2} \left.\right)\)

\(3 x_{1} - \sqrt{33 x_{1} + 25} = 3 x_{2} - \sqrt{33 x_{2} + 25}\)

\(3 \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) - \left(\right. \sqrt{33 x_{1} + 25} - \sqrt{33 x_{2} + 25} \left.\right) = 0\)

\(3 \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) - \frac{33 \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right)}{\sqrt{33 x_{1} + 25} + \sqrt{33 x_{2} + 25}} = 0\)

\(1 - \frac{11}{\sqrt{33 x_{1} + 25} + \sqrt{33 x_{2} + 25}} = 0\)

\(\sqrt{33 x_{1} + 25} + \sqrt{33 x_{2} + 25} = 11\)

\(\left(\right. \sqrt{33 x_{1} + 25} + \sqrt{33 x_{2} + 25} \left.\right)^{2} = 121\)

\(33 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + 50 + 2 \sqrt{\left(\right. 33 x_{1} + 25 \left.\right) \left(\right. 33 x_{2} + 25 \left.\right)} = 121\) (*)

Ta có VT(*) \(= 33.1 + 50 + 2 \sqrt{3 3^{2} x_{1} x_{2} + 33.25 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + 2 5^{2}}\)

\(= 83 + 2 \sqrt{- 3 3^{2} + 2 533 + 2 5^{2}}\)

\(= 83 + 2 \sqrt{361} = 83 + 83 = 121 =\) VP.

Ta có \(\Delta_{1} , \Delta_{2} > 0\) suy ra hai phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Viète ta có:

\(\left{\right. & x_{1} + x_{2} = - 2 024 ; x_{1} . x_{2} = 2 \\ & x_{3} + x_{4} = - 2 025 ; x_{3} . x_{4} = 2\)

\(\left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{4} \left.\right) = x_{1}^{2} + x_{1} \left(\right. x_{3} + x_{4} \left.\right) + x_{3} x_{4} = x_{1}^{2} - 2 025 x_{1} + 2\).

Lại có \(x_{1}\) là nghiệm phương trình \(x^{2} + 2 024 x + 2 = 0\) nên:

\(x_{1}^{2} + 2 024 x_{1} + 2 = 0\)

\(x_{1}^{2} - 2 025 x_{1} + 2 + 4 049 x_{1} = 0\)

\(x_{1}^{2} - 2 025 x_{1} + 2 = - 4 049 x_{1}\)

\(\left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} + x_{4} \left.\right) = - 4 049 x_{1}\) (1) 

Tương tự: \(\left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right) = x_{2}^{2} - x_{2} \left(\right. x_{3} + x_{4} \left.\right) + x_{3} x_{4} = x_{2}^{2} + 2 025 x_{2} + 2\)

Mà \(x_{2}\) là nghiệm phương trình \(x^{2} + 2 024 x + 2 = 0\) nên

\(x_{2}^{2} + 2 024 x_{2} + 2 = 0\)

\(x_{2}^{2} + 2 025 x_{2} + 2 - x_{2} = 0\)

\(x_{2}^{2} + 2 025 x_{2} + 2 = x_{2}\)

\(\left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right) = x_{2}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} + x_{4} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right) = - 4 049 x_{1} . x_{2}\)

hay \(A = - 4 049 x_{1} x_{2} = - 4 049.2 = - 8 098\).

Vậy \(A = - 8 098\).

a) \(\Delta^{'} = m^{2} + 3 > 0\) với mọi \(m\) nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Theo định lí Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right)\).

Vì \(x_{1}\) là nghiệm của phương trình nên ta có:

\(x_{1}^{2} - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1} + 2 m - 2 = 0\) hay \(x_{1}^{2} + 2 m - 2 = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1}\).

Suy ra \(B = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1} + 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) = 4 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2}\).

a) \(x^{2} - m x - 1 = 0\) (1)

Ta có \(a c = - 1 < 0\) suy ra phương trình (1) luôn có hai nghiệm \(x_{1} , x_{2}\) trái dấu.

b) Ta có \(x_{1}\) là nghiệm của phương trình (1) suy ra \(x_{1}^{2} - m x_{1} - 1 = 0\)

hay \(x_{1}^{2} - 1 = m x_{1}\);

Tương tự ta có \(x_{2}\) là nghiệm của phương trình (1) suy ra \(x_{2}^{2} - m x_{2} - 1 = 0\)

hay \(x_{2}^{2} - 1 = m x_{2}\).

\(A = \frac{x_{1}^{2} + x_{1} - 1}{x_{1}} - \frac{x_{2}^{2} + x_{2} - 1}{x_{2}}\)

\(= \frac{m x_{1} + x_{1}}{x_{1}} - \frac{m x_{2} + x_{2}}{x_{2}}\)

\(= \frac{\left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1}}{x_{1}} - \frac{\left(\right. m + 1 \left.\right) x_{2}}{x_{2}} = 0\).

Vậy \(A = 0\).

Ta có \(\Delta = \left(\right. 2 m + 1 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. m^{2} + 1 \left.\right) = 4 m - 3\).

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta > 0\)

\(m > \frac{3}{4}\).

Theo định lí Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = 2 m + 1\) và \(x_{1} x_{2} = m^{2} + 1\).

Do đó \(P = \frac{x_{1} x_{2}}{x_{1} + x_{2}}\)

\(= \frac{m^{2} + 1}{2 m + 1} = \frac{2 m - 1}{4}\)

\(= \frac{5}{4 \left(\right. 2 m + 1 \left.\right)}\).

Suy ra \(4 P = 2 m - 1 + \frac{5}{2 m + 1}\).

Do \(m > \frac{3}{4}\) nên \(2 m + 1 > 1\)

Để \(P \in \mathbb{Z}\) thì ta phải có \(\left(\right. 2 m + 1 \left.\right)\) là ước của \(5\), suy ra

\(2 m + 1 = 5\)

\(m = 2\)

Thử lại với \(m = 2\), ta được \(P = 1\) (thỏa mãn).

Vậy \(m = 2\) là giá trị cần tìm thỏa mãn bài toán.

a) Với \(m = 2\) thì phương trình (*) trở thành:

\(x^{2} + 4 x - 12 = 0\)

\(x^{2} + 6 x - 2 x - 12 = 0\)

\(x \left(\right. x + 6 \left.\right) - 2 \left(\right. x + 6 \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. x + 6 \left.\right) \left(\right. x - 2 \left.\right) = 0\)

\(x = - 6 ; x = 2\)

Vậy với \(m = 2\) thì phương trình (*) có tập nghiệm là \(S = \left{\right. - 6 ; 2 \left.\right}\).

b) Phương trình \(\left(\right. * \left.\right)\) có \(a . c = 1. \left(\right. - 12 \left.\right) = - 12 < 0\) nên luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

Theo định lí Viète ta có: \(\left{\right. & x_{1} + x_{2} = - 4 m + 4 \\ & x_{1} . x_{2} = - 12\) (1) 

Vì \(x_{2}\) là nghiệm của phương trình (*) nên ta có: \(x_{2}^{2} + 4 \left(\right. m - 1 \left.\right) x_{2} - 12 = 0\)

\(x_{2}^{2} + 4 m x_{2} - 4 x_{2} - 12 = 0\)

\(x_{2}^{2} + 4 \left(\right. m x_{2} - 4 \left.\right) - 4 x_{2} + 4 = 0\)

\(4 \left(\right. 4 - m x_{2} \left.\right) = x_{2}^{2} - 4 x_{2} + 4\)

\(4 \left(\right. 4 - m x_{2} \left.\right) = \left(\right. x_{2} - 2 \left.\right)^{2}\) 

\(2. \sqrt{4 - m x_{2}} = \sqrt{\left(\right. x_{2} - 2 \left.\right)^{2}}\)

\(2. \sqrt{4 - m x_{2}} = \mid x_{2} - 2 \mid\) (2) 

Mà theo bài có: \(4 \mid x_{1} - 2 \mid . \sqrt{4 - m x_{2}} = \left(\right. x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2} - 8 \left.\right)^{2}\) (3) 

Thay (1), (2) vào (3) ta được: \(2. \mid x_{1} - 2 \mid . \mid x_{2} - 2 \mid = \left(\left[\right. - 4 m + 4 + 12 - 8 \left]\right.\right)^{2}\)

\(2. \mid x_{1} x_{2} - 2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + 4 \mid = \left(\right. 8 - 4 m \left.\right)^{2}\)

\(2. \mid - 12 - 2 \left(\right. - 4 m + 4 \left.\right) + 4 \mid = 64 - 64 m + 16 m^{2}\)

\(2. \mid - 16 + 8 m \mid = 16 \left(\right. m^{2} - 4 m + 4 \left.\right)\)

\(16. \mid m - 2 \mid = 16 \left(\right. m - 2 \left.\right)^{2}\)

\(\mid m - 2 \mid = \left(\right. m - 2 \left.\right)^{2}\)

\(\left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} = \left(\right. m - 2 \left.\right)^{4}\)

\(\left(\right. m - 2 \left.\right)^{4} - \left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} = 0\)

\(\left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} . \left[\right. \left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} - 1 \left]\right. = 0\)

\(\left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} = 0\) hoặc \(\left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} - 1 = 0\)

Giải \(\left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} = 0\) ta được \(m = 2\)

Giải \(\left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} - 1 = 0\)

\(\left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} = 1\)

\(m - 2 = 1\) hoặc \(m - 2 = - 1\)

\(m = 3\) hoặc \(m = 1\)

Vậy \(m \in \left{\right. 1 ; 2 ; 3 \left.\right}\) là các giá trị cần tìm.

a) Phương trình \(x^{2} - 2 \left(\right. m + 2 \left.\right) x + m^{2} + 7 = 0\) có: \(\Delta^{'} = \left(\right. m + 2 \left.\right)^{2} - m^{2} - 7 = 4 m - 3\).

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta^{'} > 0\)

\(4 m - 3 > 0\)

\(m > \frac{3}{4}\).

Vậy với \(m > \frac{3}{4}\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi \(x_{1} , x_{2}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình.

Với \(m > \frac{3}{4}\), theo định li Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = 2 m + 4\);

\(x_{1} x_{2} = m^{2} + 7\).

Theo bài ra ta có: \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = x_{1} x_{2} + 12\)

\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} = x_{1} x_{2} + 12\)

\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 3 x_{1} x_{2} - 12 = 0\)

\(\left(\left(\right. 2 m + 4 \left.\right)\right)^{2} - 3 \left(\right. m^{2} + 7 \left.\right) - 12 = 0\)

\(4 m^{2} + 16 m + 16 - 3 m^{2} - 21 - 12 = 0\)

\(m^{2} + 16 m - 17 = 0\)

Ta có \(a + b + c = 1 + 16 - 17 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(m = 1\) (tm); \(m = \frac{c}{a} = - 17\) (ktm).

Vậy \(m = 1\).

Xét phương trình \(x^{2} - 6 x + m + 4 = 0\) (1) (\(m\) là tham số).

a) Khi \(m = 1\), ta có \(x^{2} - 6 x + 1 + 4 = 0\)

\(x^{2} - 6 x + 5 = 0\)

Vì \(a + b + c = 1 + \left(\right. - 6 \left.\right) + 5 = 0\) suy ra phương trình có hai nghiệm \(x_{1} = 1 ; x_{2} = \frac{c}{a} = 5\).

Vậy \(m = 1\) thì phương trình có nghiệm là \(x_{1} = 1 ; x_{2} = 5\).

b) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} , x_{2}\) thì \(\Delta^{'} > 0\)

\(\left(\left(\right. - 3 \left.\right)\right)^{2} - 1 \left(\right. m + 4 \left.\right) > 0\)

\(9 - m - 4 > 0\)

\(- m > - 5\)

\(m < 5\).

Khi đó theo hệ thức Viète, ta có \(x_{1} + x_{2} = 6 ; x_{1} x_{2} = m + 4\).

Theo bài ra: \(2 020 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) - 2 021 x_{1} x_{2} = 2 014\)

\(2 020.6 - 2 021. \left(\right. m + 4 \left.\right) = 2 014\)

\(12 120 - 2 021 m - 8 084 = 2 014\)

\(- 2 021 m = - 2 022\)

\(m = \frac{2 022}{2 021}\) (thỏa mãn).

Vậy \(m = \frac{2 022}{2 021}\) là giá trị cần tìm.

a) Thay \(m = 1\) vào phương trình \(\left(\right. 1 \left.\right)\) ta có:

\(x^{2} - 2 \left(\right. 1 + 1 \left.\right) x + 1^{2} + 2 = 0\)

\(x^{2} - 4 x + 3 = 0\)

Phương trình có: \(a + b + c = 1 - 4 + 3 = 0\) suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} = 1\) và \(x_{2} = \frac{c}{a} = 3.\)

Vậy với \(m = 1\) thì phương trình có tập nghiệm là: \(S = \left{\right. 1 ; 3 \left.\right}\).

b) Xét phương trình \(x^{2} - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x + m^{2} + 2 = 0\) (1)

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta^{'} > 0\)

\(\left(\left(\right. m + 1 \left.\right)\right)^{2} - \left(\right. m^{2} + 2 \left.\right) > 0\)

\(m^{2} + 2 m + 1 - m^{2} - 2 > 0\)

\(2 m - 1 > 0\)

\(m > \frac{1}{2}\)

Với \(m > \frac{1}{2}\) thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} , x_{2}\).

Áp dụng định lí Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) ; x_{1} x_{2} = m^{2} + 2\).

Theo đề bài ta có: \(x_{1}^{2} + 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{2} = 12 m + 2\)

\(x_{1}^{2} + \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) x_{2} = 12 m + 2\)

\(x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} = 12 m + 2\)

\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{1} x_{2} = 12 m + 2\)

\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - x_{1} x_{2} = 12 m + 2\)

\(4 \left(\left(\right. m + 1 \left.\right)\right)^{2} - \left(\right. m^{2} + 2 \left.\right) = 12 m + 2\)

\(4 m^{2} + 8 m + 4 - m^{2} - 2 = 12 m + 2\)

\(3 m^{2} - 4 m = 0\)

\(m \left(\right. 3 m - 4 \left.\right) = 0\)

\(m = 0\) (ktm); \(m = \frac{4}{3}\) (tm).

Vậy \(m = \frac{4}{3}\) là thỏa mãn bài toán.