Phương trình \(x^{2} - 2 \left(\right. m - 3 \left.\right) x - 6 m - 7 = 0\) có \(\Delta^{'} = \left(\right. m - 3 \left.\right)^{2} + 6 m + 7 = m^{2} + 16 > 0\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\).

Suy ra phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} ; x_{2}\).

Theo định lí Viète ta có: \(\left{\right. & x_{1} + x_{2} = 2 m - 6 \\ & x_{1} . x_{2} = - 6 m - 7\).

Ta có \(C = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} + 8 x_{1} x_{2}\)

\(= \left(\right. 2 m - 6 \left.\right)^{2} + 8 \left(\right. - 6 m - 7 \left.\right)\)

\(= 4 m^{2} - 24 m + 36 - 48 m - 56\)

\(= 4 m^{2} - 72 m - 20\)

\(= 4 \left(\right. m^{2} - 18 m + 81 \left.\right) - 4.81 - 20\)

\(= 4 \left(\right. m - 9 \left.\right)^{2} - 344 \geq - 344 ,\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\) (vì \(4 \left(\right. m - 9 \left.\right)^{2} \geq 0 , \forall m \in \mathbb{R}\))

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(m - 9 = 0\) hay \(m = 9\).

Vậy GTNN của \(C\) là \(- 344\) đạt tại \(m = 9\).

\(Δ=[−2(m+1)]2−4(m2+1)\)

\(=4m2+8m+4−4m2−4=8m=4m2+8m+4−4m2−4=8m\)

Để phương trình có nghiệm thì Δ>=0

=>8m>=0

=>m>=0

Theo Vi-et, ta có:

\({x1+x2=−ba=2(m+1)=2m+2x1x2=ca=m2+1⎩⎨⎧​x1​+x2​=−ab​=2(m+1)=2m+2x1​x2​=ac​=m2+1​\)

\(A=x1(x1−x2)+x22=x12−x1x2+x22A=x1​(x1​−x2​)+x22​=x12​−x1​x2​+x22​\)

\(=(x1+x2)2−3x1x2=(x1​+x2​)2−3x1​x2​\)

\(=(2m+2)2−3(m2+1)=(2m+2)2−3(m2+1)\)

\(=4m2+8m+4−3m2−3=m2+8m+1=4m2+8m+4−3m2−3=m2+8m+1\)

\(=m2+8m+16−15=(m+4)2−15>=−15∀m=m2+8m+16−15=(m+4)2−15>=−15∀m\)

Dấu '=' xảy ra khi m+4=0

=>m=-4(loại)

=>A không có giá trị lớn nhất