Gọi \(x\) (cm) là độ rộng viền khung ảnh.

1. Kích thước của cả khung ảnh

Phần ảnh bên trong:

• Chiều dài: \(25\) cm
• Chiều rộng: \(17\) cm

Vì viền xung quanh rộng \(x\) nên kích thước cả khung là:

• Chiều dài: \(25 + 2 x\)
• Chiều rộng: \(17 + 2 x\)

2. Diện tích của cả khung ảnh

\(S = \left(\right. 25 + 2 x \left.\right) \left(\right. 17 + 2 x \left.\right)\)

Theo đề bài:

\(\left(\right. 25 + 2 x \left.\right) \left(\right. 17 + 2 x \left.\right) = 513\)

3. Giải phương trình

\(\left(\right. 25 + 2 x \left.\right) \left(\right. 17 + 2 x \left.\right) = 513\) \(425 + 50 x + 34 x + 4 x^{2} = 513\) \(4 x^{2} + 84 x + 425 = 513\) \(4 x^{2} + 84 x - 88 = 0\)

Chia 4:

\(x^{2} + 21 x - 22 = 0\) \(\left(\right. x + 22 \left.\right) \left(\right. x - 1 \left.\right) = 0\) \(x = - 22 \text{ho}ặ\text{c} x = 1\)

Vì \(x > 0\) nên:

\(x = 1\)

a) Tính \(cos ⁡ \alpha\) giữa hai đường thẳng

\(\Delta : 3 x + 4 y + 7 = 0\) \(\Delta_{1} : 5 x - 12 y + 7 = 0\)

Công thức tính cos của góc giữa hai đường thẳng:

\(cos ⁡ \alpha = \frac{\mid a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} \mid}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}} \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}}\)

Với

\(a_{1} = 3 , \textrm{ }\textrm{ } b_{1} = 4\) \(a_{2} = 5 , \textrm{ }\textrm{ } b_{2} = - 12\)

Tính tử:

\(\mid 3 \cdot 5 + 4 \left(\right. - 12 \left.\right) \mid = \mid 15 - 48 \mid = 33\)

Tính mẫu:

\(\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\) \(\sqrt{5^{2} + \left(\right. - 12 \left.\right)^{2}} = \sqrt{169} = 13\) \(cos ⁡ \alpha = \frac{33}{5 \cdot 13}\) \(cos ⁡ \alpha = \frac{33}{65}\)

✅ Kết quả

\(cos ⁡ \alpha = \frac{33}{65}\)

b) Viết phương trình đường thẳng vuông góc với \(\Delta\) và tiếp xúc đường tròn

Đường tròn:

\(\left(\right. C \left.\right) : \left(\right. x - 3 \left.\right)^{2} + \left(\right. y + 2 \left.\right)^{2} = 36\)

Tâm:

\(I \left(\right. 3 , - 2 \left.\right)\)

Bán kính:

\(R = 6\)

Bước 1: Tìm dạng đường thẳng vuông góc

\(\Delta : 3 x + 4 y + 7 = 0\)

Hệ số góc:

\(y = - \frac{3}{4} x - \frac{7}{4}\) \(k_{\Delta} = - \frac{3}{4}\)

Đường thẳng vuông góc có hệ số góc:

\(k = \frac{4}{3}\)

Phương trình tổng quát:

\(y = \frac{4}{3} x + b\)

Đưa về dạng chuẩn:

\(4 x - 3 y + 3 b = 0\)

Bước 2: Điều kiện tiếp xúc

Khoảng cách từ tâm đến đường thẳng bằng bán kính:

\(d \left(\right. I , \Delta \left.\right) = 6\) \(\frac{\mid 4 \cdot 3 - 3 \left(\right. - 2 \left.\right) + 3 b \mid}{\sqrt{4^{2} + \left(\right. - 3 \left.\right)^{2}}} = 6\) \(\frac{\mid 12 + 6 + 3 b \mid}{5} = 6\) \(\mid 18 + 3 b \mid = 30\)

Bước 3: Giải

\(18 + 3 b = 30 \Rightarrow b = 4\) \(18 + 3 b = - 30 \Rightarrow b = - 16\)

Bước 4: Phương trình hai tiếp tuyến

\(y = \frac{4}{3} x + 4\) \(y = \frac{4}{3} x - 16\)

Hoặc dạng tổng quát:

\(4 x - 3 y + 12 = 0\) \(4 x - 3 y - 48 = 0\)

a) Tìm \(m\) để \(f \left(\right. x \left.\right) = x^{2} + \left(\right. m - 1 \left.\right) x + m + 5\) dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Một tam thức bậc hai \(a x^{2} + b x + c\) dương với mọi \(x\) khi:

• \(a > 0\)
• \(\Delta < 0\)

Ở đây:
\(a = 1 > 0\) (luôn đúng)

Tính biệt thức:

\(\Delta = b^{2} - 4 a c\) \(\Delta = \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. 1 \left.\right) \left(\right. m + 5 \left.\right)\) \(= m^{2} - 2 m + 1 - 4 m - 20\) \(= m^{2} - 6 m - 19\)

Điều kiện:

\(\Delta < 0\) \(m^{2} - 6 m - 19 < 0\)

Giải phương trình:

\(m^{2} - 6 m - 19 = 0\) \(\Delta = 36 + 76 = 112\) \(m = \frac{6 \pm \sqrt{112}}{2}\) \(= 3 \pm 2 \sqrt{7}\)

Vì parabol mở lên nên:

\(3 - 2 \sqrt{7} < m < 3 + 2 \sqrt{7}\)

✅ Kết quả:

\(3 - 2 \sqrt{7} < m < 3 + 2 \sqrt{7}\)

b) Giải phương trình

\(2 x^{2} - 8 x + 4 = x - 2\)

Chuyển vế:

\(2 x^{2} - 8 x + 4 - x + 2 = 0\) \(2 x^{2} - 9 x + 6 = 0\)

Tính biệt thức:

\(\Delta = \left(\right. - 9 \left.\right)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6\) \(= 81 - 48 = 33\) \(x = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{4}\)

✅ Kết quả:

\(x_{1} = \frac{9 + \sqrt{33}}{4} , x_{2} = \frac{9 - \sqrt{33}}{4}\)

(a) Cân bằng phương trình (môi trường axit)

🔹 Xác định quá trình oxi hoá – khử

• Trong \(\text{C}_{2} \text{O}_{4}^{2 -}\): C có số oxi hóa +3
  → CO₂: C +4 (bị oxi hóa)

\(\text{C}_{2} \text{O}_{4}^{2 -} \rightarrow 2 C O_{2} + 2 e\)

• Mn⁷⁺ → Mn²⁺ (bị khử)

\(\text{Mn}^{7 +} + 5 e \rightarrow \text{Mn}^{2 +}\)

🔹 Quy đồng electron

Nhân quá trình oxi hóa ×5, quá trình khử ×2:

\(5 \text{C}_{2} \text{O}_{4}^{2 -} \rightarrow 10 C O_{2} + 10 e\) \(2 \text{Mn}^{7 +} + 10 e \rightarrow 2 \text{Mn}^{2 +}\)

🔹 Phương trình cân bằng hoàn chỉnh:

\(\boxed{5 C a C_{2} O_{4} + 2 K M n O_{4} + 8 H_{2} S O_{4} \rightarrow 5 C a S O_{4} + K_{2} S O_{4} + 2 M n S O_{4} + 10 C O_{2} + 8 H_{2} O}\)

(b) Tính nồng độ \(C a^{2 +}\)

🔹 Bước 1: Tính số mol \(K M n O_{4}\)

\(n = C \times V\) \(n_{K M n O_{4}} = 4 , 88 \times 10^{- 4} \times 2 , 05 \times 10^{- 3}\) \(= 1 , 0004 \times 10^{- 6} \&\text{nbsp};\text{mol}\)

≈ \(1 , 00 \times 10^{- 6}\) mol

🔹 Bước 2: Tính số mol \(C a C_{2} O_{4}\)

Theo phương trình:

\(2 K M n O_{4} : 5 C a C_{2} O_{4}\) \(n_{C a C_{2} O_{4}} = \frac{5}{2} n_{K M n O_{4}}\) \(= \frac{5}{2} \times 1 , 00 \times 10^{- 6}\) \(= 2 , 50 \times 10^{- 6} \&\text{nbsp};\text{mol}\)

🔹 Bước 3: Suy ra số mol \(C a^{2 +}\)

Tỉ lệ 1:1

\(n_{C a^{2 +}} = 2 , 50 \times 10^{- 6} \&\text{nbsp};\text{mol}\)

🔹 Bước 4: Tính khối lượng Ca²⁺ trong 1 mL máu

\(m = n \times M\) \(= 2 , 50 \times 10^{- 6} \times 40\) \(= 1 , 00 \times 10^{- 4} \&\text{nbsp};\text{g}\)

= 0,10 mg trong 1 mL máu

🔹 Bước 5: Đổi ra 100 mL máu

\(0 , 10 \times 100 = 10 \&\text{nbsp};\text{mg}\)

✅ Kết quả:

Nồng độ ion calcium trong máu:

\(\boxed{10 \&\text{nbsp};\text{mg}\&\text{nbsp}; C a^{2 +} / 100 \&\text{nbsp};\text{mL}\&\text{nbsp};\text{m} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{u}}\)

Ta có phản ứng hoà tan:

\(\text{CaCl}_{2} \left(\right. s \left.\right) \rightarrow \text{Ca}^{2 +} \left(\right. a q \left.\right) + 2 \text{Cl}^{-} \left(\right. a q \left.\right)\)

🔹 Công thức tính:

\(\Delta_{r} H_{298}^{\circ} = \sum \Delta_{f} H_{\text{s}ả\text{n}\&\text{nbsp};\text{ph}ẩ\text{m}}^{\circ} - \sum \Delta_{f} H_{\text{ch} \overset{ˊ}{\hat{\text{a}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{tham}\&\text{nbsp};\text{gia}}^{\circ}\)

🔹 Thay số:

\(\Delta_{r} H_{298}^{\circ} = \left[\right. \Delta_{f} H^{\circ} \left(\right. \text{Ca}^{2 +} \left.\right) + 2 \Delta_{f} H^{\circ} \left(\right. \text{Cl}^{-} \left.\right) \left]\right. - \Delta_{f} H^{\circ} \left(\right. \text{CaCl}_{2} \left.\right)\) \(= \left[\right. \left(\right. - 542 , 83 \left.\right) + 2 \left(\right. - 167 , 16 \left.\right) \left]\right. - \left(\right. - 795 , 0 \left.\right)\) \(= \left[\right. - 542 , 83 - 334 , 32 \left]\right. + 795 , 0\) \(= - 877 , 15 + 795 , 0\) \(= - 82 , 15 \&\text{nbsp};\text{kJ}/\text{mol}\)

🔹 Kết luận:

\(\boxed{\Delta_{r} H_{298}^{\circ} = - 82 , 15 \&\text{nbsp};\text{kJ}/\text{mol}}\)

→ Quá trình hoà tan toả nhiệt (vì ΔH < 0).

a) Fe + HNO₃ → Fe(NO₃)₃ + NO + H₂O

🔹 Bước 1: Xác định số oxi hóa

• Fe⁰ → Fe³⁺ (tăng số oxi hóa → bị oxi hóa)
• N⁵⁺ (trong HNO₃) → N²⁺ (trong NO) (giảm số oxi hóa → bị khử)

🔹 Bước 2: Viết quá trình oxi hóa – khử

Quá trình oxi hóa:
Fe⁰ → Fe³⁺ + 3e

Quá trình khử:
N⁵⁺ + 3e → N²⁺

→ Tỉ lệ e trao đổi: 1 : 1

🔹 Bước 3: Cân bằng phương trình

Phương trình cân bằng:

Fe + 4HNO₃ → Fe(NO₃)₃ + NO + 2H₂O

🔹 Kết luận

• Chất khử: Fe
• Chất oxi hóa: HNO₃ (ion NO₃⁻, N⁵⁺)
• Quá trình oxi hóa: Fe⁰ → Fe³⁺
• Quá trình khử: N⁵⁺ → N²⁺

b) KMnO₄ + FeSO₄ + H₂SO₄ → Fe₂(SO₄)₃ + MnSO₄ + K₂SO₄ + H₂O

(Môi trường axit)

🔹 Bước 1: Xác định số oxi hóa

• Mn⁷⁺ → Mn²⁺ (giảm → bị khử)
• Fe²⁺ → Fe³⁺ (tăng → bị oxi hóa)

🔹 Bước 2: Viết quá trình oxi hóa – khử

Quá trình oxi hóa:
Fe²⁺ → Fe³⁺ + 1e

Quá trình khử:
Mn⁷⁺ + 5e → Mn²⁺

→ Nhân quá trình oxi hóa ×5

5Fe²⁺ → 5Fe³⁺ + 5e

🔹 Bước 3: Cân bằng phương trình

Phương trình cân bằng:

2KMnO₄ + 10FeSO₄ + 8H₂SO₄
→ 5Fe₂(SO₄)₃ + 2MnSO₄ + K₂SO₄ + 8H₂O

🔹 Kết luận

• Chất khử: FeSO₄ (Fe²⁺)
• Chất oxi hóa: KMnO₄ (Mn⁷⁺)
• Quá trình oxi hóa: Fe²⁺ → Fe³⁺
• Quá trình khử: Mn⁷⁺ → Mn²⁺