tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G.

Suy ra G là trọng tâm của tam giác.

Suy ra \(G M = \frac{G B}{2}\); \(G N = \frac{G C}{2}\) (tính chất trọng tâm của tam giác) (1)

Mà \(P\) là trung điểm của \(G B\) (giả thiết) nên \(G P = P B = \frac{G B}{2}\) (2)

\(Q\) là trung điểm của \(G C\) (giả thiết) nên \(G Q = Q C = \frac{G C}{2}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(G M = G P\) và \(G N = G Q\).

Xét tứ giác \(P Q M N\) có: \(G M = G P\) và \(G N = G Q\) (chứng minh trên)

Do đó tứ giác \(P Q M N\) có hai đường chéo \(M P\) và \(N Q\) cắt nhau tại trung điểm \(G\) của mỗi đường nên là hình bình hành.

 Do ABCD là hình bình hành nên

AB // CD, DC = AB, mà B là trung điểm của AE ,C là trung điểm của DF

suy ra AE song song DF,AB song song FC ,AB =BE=DC=CF

Xét tứ giác AEFD có

 AE song song DF(cmt)

AE bằng DF(cmt)

Xét tứ giác ABFC có

AB song song FC

AB=CF

Do đó ABFC là hình bình hành

 Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường.

Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường.

Vậy ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD.

AB // CD nên AM // CN suy ra góc OAM=góc OCN (hai góc so le trong)

Xét ∆OAM và ∆OCN có:

góc OAM=góc OCN (chứng minh trên)

OA = OC (chứng minh trên)

góc AOM=góc CON (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆OAM =  ∆OCN (g.c.g).

suy ra AM bằng CN  (hai cạnh tương ứng)

Ta có : AB = CD ;AB = AM + BM; CD = CN + DN.

suy ra BM=DN

Xét tứ giác MBND có:

BM song song DN (vì AB song song CD)

BM = DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.

a)vì ABCD là hình bình hành nên AB song song CD , AB bằng CD

mà E,F là trung điểm của AB và CD

suy ra AE song song DF , AE = EB = DF = FC hay AE =DF

Xét tứ giác AEFD có

AE song song DF

AE =DF

Do đó AEFD là hình bình hành

Xét tứ giác AECF có

AE song song CF

AE=CF

Do đó AECF là hình bình hành

b)VÌ AECF là hình bình hành nên  AF = EC

Vì AEDF là hình bình hành nên EF = AD.

Vậy EF = AD,AF = EC