• T𝑇 là tổng số tiền vay của cả hai người:  𝑇 =200 triệu đồng.
• r𝑟 là lãi suất hàng tháng:  𝑟 =0 , 7 % =0 , 007.
• m𝑚 là số tiền mỗi người trả hàng tháng (giống nhau).
• 𝑛1 =10 tháng (thời gian An trả hết nợ).
• 𝑛2 =15 tháng (thời gian Bình trả hết nợ).
• 𝑉1 , 𝑉2 lần lượt là số tiền An và Bình đã vay.

• Số tiền An vay:  𝑉1 =𝑚 (1+0,007)10−10,007(1+0,007)10
• Số tiền Bình vay:  𝑉2 =𝑚 (1+0,007)15−10,007(1+0,007)15

• (1,007)10−10,007(1,007)10 ≈9 , 624
• (1,007)15−10,007(1,007)15 ≈14 , 213

• Đáy  ABCD𝐴𝐵𝐶𝐷 là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính  𝐴𝐷 =2𝑎.
• Suy ra bán kính đường tròn là  𝑅 =𝑎. Các cạnh của nửa lục giác đều là  𝐴𝐵 =𝐵𝐶 =𝐶𝐷 =𝑎.
• Vì  ABCD𝐴𝐵𝐶𝐷 là nửa lục giác đều nên  𝐴𝐷 ∥𝐵𝐶 và  𝐵𝐷 ⟂𝐴𝐵,  𝐴𝐶 ⟂𝐶𝐷.
• Xét tam giác  ABD𝐴𝐵𝐷 vuông tại  B𝐵 (do nội tiếp nửa đường tròn):
  𝐵𝐷 =𝐴𝐷2−𝐴𝐵2√ =(2𝑎)2−𝑎2√ =𝑎 3√.

• 𝐴 ( 0 , 0 , 0 )
• 𝑆 ( 0 , 0 , 3𝑎2 ) (vì  𝑆𝐴 ⟂ ( 𝐴𝐵𝐶𝐷 ) và  𝑆𝐴 =3𝑎2)
• Chọn tia  Ax𝐴𝑥 trùng với  AB𝐴𝐵, tia  Ay𝐴𝑦 nằm trong mặt phẳng đáy sao cho  𝐴𝑦 ⟂𝐴𝑥.
• • 𝐵 ( 𝑎 , 0 , 0 )
  • Để tìm tọa độ  C𝐶 và  D𝐷, ta dựa vào tính chất lục giác đều (góc  𝐴𝐵𝐶 =120∘):
  • 𝐷 ( 2𝑎 cos60∘ , 2𝑎 sin60∘ , 0 ) = ( 𝑎 , 𝑎 3√ , 0 )
  • C𝐶: Từ  𝐵 ( 𝑎 , 0 , 0 ), vector  BC⃗𝐵𝐶⃗ cùng phương với  AD⃗𝐴𝐷⃗ nhưng dài bằng một nửa và  𝐴𝐷 ∥𝐵𝐶. Thực tế trong nửa lục giác đều,  C𝐶 có tọa độ  ( 0 , 𝑎 3√ , 0 ) (do  ABCD𝐴𝐵𝐶𝐷 cân).

• 𝐴 ( 0 , 0 , 0 ),  𝐵 ( 𝑎 , 0 , 0 )
• D𝐷 nằm trên tia tạo với  AB𝐴𝐵góc  60∘60∘ và  𝐴𝐷 =2𝑎:  𝐷 ( 2𝑎 cos60∘ , 2𝑎 sin60∘ , 0 ) = ( 𝑎 , 𝑎 3√ , 0 ).
• C𝐶 là trung điểm của đoạn nối từ tâm  O𝑂 (trung điểm  AD𝐴𝐷) đến đỉnh đối diện trong lục giác:  𝐶 ( 0 , 𝑎 3√ , 0 ).

• 𝐵𝐷⃗ =𝐷 −𝐵 = ( 0 , 𝑎 3√ , 0 )
• 𝑆𝐶⃗ =𝐶 −𝑆 = ( 0 , 𝑎 3√ , −3𝑎2 )
• 𝐵𝑆⃗ =𝑆 −𝐵 = ( −𝑎 , 0 , 3𝑎2 )

1. Tích có hướng:  [BD⃗,SC⃗]=(−3a232,0,0)[𝐵𝐷⃗,𝑆𝐶⃗]=−3𝑎23√2,0,0
2. Tích hỗn tạp:  [BD⃗,SC⃗]⋅BS⃗=(−3a232)⋅(−a)+0+0=3a332[𝐵𝐷⃗,𝑆𝐶⃗]⋅𝐵𝑆⃗=−3𝑎23√2⋅(−𝑎)+0+0=3𝑎33√2
3. Độ dài tích có hướng:  | [ 𝐵𝐷⃗ , 𝑆𝐶⃗ ] | =3𝑎23√2

• Đáy  ABCD𝐴𝐵𝐶𝐷: Là hình bình hành. Gọi  O𝑂 là giao điểm của hai đường chéo  AC𝐴𝐶 và  BD𝐵𝐷.
• Đỉnh  S𝑆: Hình chiếu của  S𝑆 lên mặt phẳng  ( 𝐴𝐵𝐶𝐷 ) là  O𝑂. Do đó,  𝑆𝑂 ⟂ ( 𝐴𝐵𝐶𝐷 ) và  SO𝑆𝑂 chính là chiều cao  hℎ của khối chóp.
• Cạnh bên: Đề bài cho các cạnh bên đều bằng  𝑎 2√. Vì  𝑆𝑂 ⟂ ( 𝐴𝐵𝐶𝐷 ), ta có  𝑆𝐴 =𝑆𝐵 =𝑆𝐶 =𝑆𝐷 =𝑎 2√.
• Tam giác vuông: Xét tam giác  SOA𝑆𝑂𝐴vuông tại  O𝑂, ta có:
  OA2+SO2=SA2=(a2)2=2a2𝑂𝐴2+𝑆𝑂2=𝑆𝐴2=(𝑎2√)2=2𝑎2Tương tự cho các đỉnh khác, ta suy ra  𝑂𝐴 =𝑂𝐵 =𝑂𝐶 =𝑂𝐷. Một hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau ( 𝐴𝐶 =𝐵𝐷) và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình chữ nhật.

• Gọi các cạnh của hình chữ nhật đáy là  𝐴𝐵 =𝑎 (theo đề bài) và  𝐵𝐶 =𝑥.
• Độ dài đường chéo  𝐴𝐶 =𝑎2+𝑥2√.
• Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy  𝑅 =𝑂𝐴 =𝐴𝐶2 =𝑎2+𝑥2√2.
• Chiều cao  ℎ =𝑆𝑂 =𝑆𝐴2−𝑂𝐴2√ =2𝑎2−𝑎2+𝑥24 =7𝑎2−𝑥24 =7𝑎2−𝑥2√2.
• Điều kiện xác định:  7𝑎2 −𝑥2 >0 ⇒0 <𝑥 <𝑎 7√.
• Diện tích đáy  𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 =𝑎 ⋅𝑥.
• Thể tích khối chóp:
  V=13⋅SABCD⋅h=13⋅ax⋅7a2−x22=a6⋅x2(7a2−x2)𝑉=13⋅𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷⋅ℎ=13⋅𝑎𝑥⋅7𝑎2−𝑥2√2=𝑎6⋅𝑥2(7𝑎2−𝑥2)√

• Vì  ABCD𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông và  𝐵𝐷 =2𝑎, ta có tâm  O𝑂 của hình vuông là trung điểm của  BD𝐵𝐷 và  AC𝐴𝐶.
• Trong hình vuông  ABCD𝐴𝐵𝐶𝐷,  𝐴𝑂 ⟂𝐵𝐷. Theo tính chất khối hộp chữ nhật,  𝐴𝐴 ′ ⟂ ( 𝐴𝐵𝐶𝐷 ) ⇒𝐴𝐴 ′ ⟂𝐵𝐷.
• Từ đó suy ra  𝐵𝐷 ⟂ ( 𝐴 ′ 𝐴𝑂 ), dẫn đến  𝐵𝐷 ⟂𝐴 ′ 𝑂.
• Góc giữa hai mặt phẳng  ( 𝐴 ′ 𝐵𝐷 ) và  ( 𝐴𝐵𝐶𝐷 ) chính là góc giữa hai đường thẳng  𝐴 ′ 𝑂 và  AO𝐴𝑂 cùng vuông góc với giao tuyến  BD𝐵𝐷. Do đó:  𝐴′𝑂𝐴 =30∘.

• Trong hình vuông  ABCD𝐴𝐵𝐶𝐷, đường chéo  𝐴𝐶 =𝐵𝐷 =2𝑎. Suy ra:
  AO=12AC=12⋅2a=a𝐴𝑂=12𝐴𝐶=12⋅2𝑎=𝑎
• Xét tam giác vuông  𝐴 ′ 𝐴𝑂 (vuông tại  A𝐴):
• • Cạnh  𝐴𝐴 ′ =𝐴𝑂 ⋅tan ( 30∘ ) =𝑎 ⋅3√3 =𝑎3√3.
  • Cạnh huyền  𝐴 ′ 𝑂 =𝐴𝑂cos(30∘) =𝑎3√2 =2𝑎3√3.

• Gọi  H𝐻 là hình chiếu của  A𝐴 lên  𝐴 ′ 𝑂. Vì  𝐵𝐷 ⟂ ( 𝐴 ′ 𝐴𝑂 ) nên  𝐵𝐷 ⟂𝐴𝐻.
• Vì  𝐴𝐻 ⟂𝐴 ′ 𝑂 và  𝐴𝐻 ⟂𝐵𝐷, nên  𝐴𝐻 ⟂ ( 𝐴 ′ 𝐵𝐷 ). Vậy khoảng cách cần tìm là  𝑑 ( 𝐴 , ( 𝐴 ′ 𝐵𝐷 ) ) =𝐴𝐻.
• Trong tam giác vuông  𝐴 ′ 𝐴𝑂, đường cao  AH𝐴𝐻 được tính bằng công thức:
  

• Theo hình vẽ, đoạn thẳng  AB𝐴𝐵 chính là cạnh của một mặt trong hình lập phương.
• Đề bài cho biết độ dài đoạn thẳng  𝐴𝐵 =4 5√.
• Gọi độ dài cạnh hình lập phương là  a𝑎. Ta có  𝑎 =4 5√.

• Đoạn  AB𝐴𝐵 là một cạnh của mặt trên (giả sử là mặt đáy trên).
• Điểm  O𝑂 là tâm của một mặt bên.
• Gọi  M𝑀 là trung điểm của cạnh  AB𝐴𝐵. Khoảng cách từ tâm  O𝑂 đến cạnh  AB𝐴𝐵chính là độ dài đoạn thẳng nối từ  O𝑂 đến trung điểm  M𝑀 (vì  O𝑂 nằm trên mặt phẳng vuông góc với  AB𝐴𝐵 tại  M𝑀).

• Khoảng cách từ  O𝑂 đến mặt phẳng chứa cạnh  AB𝐴𝐵 (khoảng cách ngang) là  𝑑1 =𝑎2.
• Khoảng cách từ  O𝑂 đến đường thẳng chứa hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó (khoảng cách đứng) là  𝑑2 =𝑎2.
• Tuy nhiên, dựa trên cấu trúc hình lập phương, khoảng cách từ tâm một mặt đến một cạnh không thuộc mặt đó nhưng ở vị trí tương ứng (như hình vẽ sau khi gấp) được tính bằng công thức:
  d(O,AB)=(a2)2+a2𝑑(𝑂,𝐴𝐵)=𝑎22+𝑎2(Giải thích: Từ  O𝑂 kẻ vuông góc xuống cạnh đáy của mặt bên chứa  O𝑂 được đoạn  a2𝑎2, sau đó từ điểm đó đến  AB𝐴𝐵 là một cạnh  a𝑎).

1. 𝑎2 =45√2 =2 5√
2. 𝑑 =(25√)2+(45√)2
3. 𝑑 =20+80√ =100√ =10

Adct: Pn = A(1+r) mũ n -m (1+rn-1 phần r )

m = A.r. (1+r) mũ n phần (1+r) mũ n -1

giải A = 200000000

r=0,0045

n = 48

m = 200000000.0,0045-(1+0,0045 ) mũ 10

phần ( 1+ 0,0045) mũ 48 -1

=4,644

• Đáy  ABCD𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh  𝑎 ⇒𝐴𝐶 =𝑎 2√.
• 𝑆𝐴 =𝑎 2√ và  𝑆𝐴 ⟂ ( 𝐴𝐵𝐶𝐷 ).
• 𝑀 , 𝑁 là hình chiếu của  A𝐴 lên  𝑆𝐵 , 𝑆𝐷.
• Cần tính: Góc giữa  SB𝑆𝐵 và mặt phẳng  ( 𝐴𝑀𝑁 ).

• Ta có  𝐵𝐶 ⟂𝐴𝐵 và  𝐵𝐶 ⟂𝑆𝐴 (do  SA𝑆𝐴vuông góc đáy)  ⇒𝐵𝐶 ⟂ ( 𝑆𝐴𝐵 ) ⇒𝐵𝐶 ⟂𝐴𝑀.
• Mà  𝐴𝑀 ⟂𝑆𝐵 (giả thiết)  ⇒𝐴𝑀 ⟂ ( 𝑆𝐵𝐶 ) ⇒𝐴𝑀 ⟂𝑆𝐶.
• Tương tự, ta chứng minh được  𝐴𝑁 ⟂ ( 𝑆𝐷𝐶 ) ⇒𝐴𝑁 ⟂𝑆𝐶.
• Từ đó suy ra  𝑆𝐶 ⟂ ( 𝐴𝑀𝑁 ). Gọi  P𝑃 là giao điểm của  SC𝑆𝐶 và  ( 𝐴𝑀𝑁 ), khi đó  P𝑃 chính là hình chiếu vuông góc của  S𝑆 lên mặt phẳng  ( 𝐴𝑀𝑁 ).

• Vì  P𝑃 là hình chiếu của  S𝑆 lên  ( 𝐴𝑀𝑁 ), nên hình chiếu của đường thẳng  SB𝑆𝐵 lên  ( 𝐴𝑀𝑁 ) là đường thẳng  MP𝑀𝑃.
• Góc giữa  SB𝑆𝐵 và  ( 𝐴𝑀𝑁 ) chính là góc  SMP̂𝑆𝑀𝑃.

• Trong tam giác vuông  SAB𝑆𝐴𝐵:
  𝑆𝐵 =𝑆𝐴2+𝐴𝐵2√ =(𝑎2√)2+𝑎2 =𝑎 3√.
  𝑆𝑀 =𝑆𝐴2𝑆𝐵 =(𝑎2√)2𝑎3√ =2𝑎3√.
• Trong tam giác vuông  SAC𝑆𝐴𝐶 (với  𝐴𝐶 =𝑎 2√):
  𝑆𝐶 =𝑆𝐴2+𝐴𝐶2√ =(𝑎2√)2+(𝑎2√)2 =2𝑎.
  𝑆𝑃 =𝑆𝐴2𝑆𝐶 =(𝑎2√)22𝑎 =𝑎.

• Xét tam giác  SMP𝑆𝑀𝑃 vuông tại  P𝑃 (vì  𝑆𝐶 ⟂ ( 𝐴𝑀𝑁 )):
  sin 𝑆𝑀𝑃 =𝑆𝑃𝑆𝑀 =𝑎2𝑎3√ =3√2.
• Vậy  𝑆𝑀𝑃 =60∘.

• Gọi  A𝐴 là gốc tọa độ  ( 0 , 0 , 0 ).
• Đặt  𝐴𝐵⃗ =𝑎⃗ , 𝐴𝐷⃗ =𝑏⃗ , 𝐴𝐴′⃗ =𝑐⃗ với  | 𝑎⃗ | = | 𝑏⃗ | = | 𝑐⃗ | =1.
• Tích vô hướng của các cặp vectơ:  𝑎⃗ ⋅𝑏⃗ =𝑏⃗ ⋅𝑐⃗ =𝑐⃗ ⋅𝑎⃗ =1 ⋅1 ⋅cos60∘ =12.

• Trong hình hộp này, đường chéo  𝐴𝐶 ′vuông góc với mặt phẳng  ( 𝐴𝐵 ′ 𝐶 ) và  ( 𝐴 ′ 𝐵𝐷 ).
• Mặt phẳng  ( 𝐴𝐵 ′ 𝐶 ) chia đường chéo  𝐴𝐶 ′thành các đoạn tỉ lệ.

• Chiều cao của hình hộp (khoảng cách từ  𝐴 ′ đến mặt phẳng  ABCD𝐴𝐵𝐶𝐷) là  ℎ =1−3√32 =6√3.
• Độ dài đường chéo  𝐴𝐶 ′ được tính bởi:  | 𝐴𝐶′⃗ |2 = | 𝑎⃗ +𝑏⃗ +𝑐⃗ |2 =1 +1 +1 +2 ( 12 +12 +12 ) =6 ⇒𝐴𝐶 ′ =6√.

- xác định diện tích toàn bộ mặt chậu

S chu = s0.10 mũ 12

- thiết lập pt cho thời điểm bèo phu 1/5 mặt chậu

S(a) = S0 . 10t=1/5.Schu

thay Schu vào

S0.10t=1/5.(S0=10 mũ 12)

10t=10 mũ 12/5

giải pt

A=log (10 mũ 12 /5)

A= log(10 mũ 12) - log (5)

t=12-log(5)

= 11,30