1. Vì \(I\) là trung điểm của \(A C\) nên \(I A = I C\). Theo định nghĩa \(D\) ta có \(I H = I D\). Vậy \(I\) cũng là trung điểm của đoạn \(H D\).
   Do đó \(I\) là giao của hai đường chéo \(A C\) và \(H D\) và đồng thời là trung điểm của cả hai đường chéo này.
2. Khi hai đường chéo của tứ giác cắt nhau và cùng bị chia đôi tại cùng một điểm thì tứ giác đó là hình bình hành (tính chất nghịch đảo của: trong hình bình hành, hai đường chéo chia đôi nhau).
   Vì vậy \(A H C D\) là một hình bình hành.
3. \(H\) là chân đường cao từ \(A\) xuống \(B C\) nên \(A H \bot B C\). Vì \(C\) thuộc \(B C\), đoạn \(H C\) nằm trên \(B C\) nên \(A H \bot H C\).
   Trong hình bình hành \(A H C D\), hai cạnh kề \(A H\) và \(H C\) vuông góc với nhau. Khi một hình bình hành có một góc vuông thì tất cả các góc đều vuông, tức là đó là hình chữ nhật.

Kết luận: \(A H C D\) là hình chữ nhật. ∎