Ta có: \(A = x^{2} + 2 y^{2} 2 x y + 2 x 6 y + 2 028\)

\(= x^{2} 2 x y + y^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y - 4 y + 1 + 4 + 2 023\)

\(= \left[\right. x^{2} - 2 x y + \left(\right. - y^{2} \left.\right) + 2 x - 2 y + 1 \left]\right. + \left(\right. y^{2} - 4 y + 4 \left.\right) + 2 023\)

\(= \left(\left(\right. x - y + 1 \left.\right)\right)^{2} + \left(\left(\right. y - 2 \left.\right)\right)^{2} + 2 023\)

Vì \(\left(\left(\right. x - y + 1 \left.\right)\right)^{2} \geq 0\) với mọi \(x , y\) và \(\left(\left(\right. y - 2 \left.\right)\right)^{2} \geq 0\) với mọi \(y\).

Suy ra \(A \geq 2 023\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A\) là \(2\) \(023\) đạt được khi \(x - y = - 1\) và \(y - 2 = 0\) hay \(x = 1\) và \(y = 2\).

a) \(3 x \left(\right. x - 1 \left.\right) - 1 + x = 0\)

\(3 x \left(\right. x - 1 \left.\right) + \left(\right. x - 1 \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. 3 x + 1 \left.\right) \left(\right. x - 1 \left.\right) = 0\)

Suy ra \(3 x + 1 = 0\) hoặc \(x - 1 = 0\)

Vậy \(x = - \frac{1}{3}\) hoặc \(x = 1\)

b) \(x^{2} - 9 x = 0\)

\(x \left(\right. x - 9 \left.\right) = 0\)

Suy ra \(x = 0\) hoặc \(x = 9\).

a) \(3 x \left(\right. x - 1 \left.\right) - 1 + x = 0\)

\(3 x \left(\right. x - 1 \left.\right) + \left(\right. x - 1 \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. 3 x + 1 \left.\right) \left(\right. x - 1 \left.\right) = 0\)

Suy ra \(3 x + 1 = 0\) hoặc \(x - 1 = 0\)

Vậy \(x = - \frac{1}{3}\) hoặc \(x = 1\)

b) \(x^{2} - 9 x = 0\)

\(x \left(\right. x - 9 \left.\right) = 0\)

Suy ra \(x = 0\) hoặc \(x = 9\).

a) \(\left(\left(\right. 2 x + 1 \left.\right)\right)^{2} = 4 x^{2} + 4 x + 1\).

b) \(\left(\left(\right. a - \frac{b}{2} \left.\right)\right)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} . \frac{b}{2} + 3 a \left(\left(\right. \frac{b}{2} \left.\right)\right)^{2} - \left(\left(\right. \frac{b}{2} \left.\right)\right)^{3}\)

\(= a^{3} - \frac{3}{2} a^{2} b + \frac{3}{4} a b^{2} - \frac{1}{8} b^{3}\)

a) Tứ giác \(� � � �\) có \(\hat{�} = \hat{�} = \hat{�} = 90^{\circ}\) nên là hình chữ nhật.

b) Vì \(� � � �\) là hình chữ nhật nên \(� �\) // \(� �\)

Xét \(\Delta � � �\) và \(\Delta � � �\) có:

     \(\hat{�} = \hat{�} = 90^{\circ}\)

     \(� � = � �\) ( giả thiết)

     \(\hat{� � �} = \hat{�}\) (đồng vị)

Vậy \(\Delta � � � = \Delta � � �\) (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra \(� � = � �\) (hai cạnh tương ứng) mà \(� � = � �\) nên \(� � = 2 � �\) và \(� � = 2 � �\).

Do đó \(� � = � �\).

Tứ giác \(� � � �\) có \(� �\) // \(� � , � � = � �\) nên là hình bình hành.

Do đó, hai đường chéo \(� � , � �\) cắt nhau tại trung điểm \(�\) của mỗi đường hay \(� , � , �\) thẳng hàng.

c) Để hình chữ nhật \(� � � �\) là hình vuông thì \(� � = � �\) \(\left(\right. 1 \left.\right)\)

Mà \(� � = \frac{1}{2} � �\) và \(� � = � � = � �\) nên \(� � = \frac{1}{2} � �\) \(\left(\right. 2 \left.\right)\)

Từ \(\left(\right. 1 \left.\right) , \left(\right. 2 \left.\right)\) suy ra \(� � = � �\).

Vậy \(\Delta � � �\) cần thêm điều kiên cân tại \(�\).

a) Vì \(A B = 2 B C\) suy ra \(B C = \frac{A B}{2} = A D\)

\(A B C D\) là hình chữ nhật nên \(A B = D C\) suy ra \(\frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} D C\) do đó \(A I = D K = A D\).

Tứ giác \(A I K D\) có \(A I\) // \(D K , A I = D K\) nên \(A I K D\) là hình bình hành.

Lại có \(A D = A I\) nên \(A I K D\) là hình thoi.

Mà \(\hat{I A D} = 90^{\circ}\) do đó \(A I K D\) là hình vuông.

Chứng minh tương tự cho tứ giác \(B I K C\)

b) Vì \(A I K D\) là hình vuông nên \(D I\) là tia phân giác \(\hat{A D K}\) hay \(\hat{I D K} = 45^{\circ}\).

Tương tự \(\hat{I C D} = 45^{\circ}\).

\(\Delta I D C\) cân có \(\hat{D I C} = 90^{\circ}\) nên là tam giác vuông cân.

c) Vì \(A I K D , B C K I\) là các hình vuông nên hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên \(S I = S K = \frac{D I}{2}\) và \(I R = R K = \frac{I C}{2}\)

Suy ra \(I S K R\) là hình thoi.

Lại có \(\hat{D I C} = 90^{\circ}\) nên \(I S K R\) là hình vuông.

a) Tứ giác \(� � � �\) có hai đường chéo \(� � , � �\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

\(\Delta � � �\) vuông tại \(�\) có \(� �\) là đường trung tuyến nên \(� � = � � = � �\).

Vậy hình bình hành \(� � � �\) có \(� � = � �\) nên là hình thoi.

b) Vì \(� � � �\) là hình thoi nên \(� �\) // \(� �\) và \(� � = � � = � �\).

Tứ giác \(� � � �\) có \(� �\) // \(� � , � � = � �\) nên là hình bình hành.

c) Để \(� � � �\) là hình vuông thì cần có một góc vuông hay \(� � ⊥ � �\).

Khi đó \(\Delta � � �\) có \(� �\) vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại \(�\).

Vậy \(\Delta � � �\) vuông cân tại \(�\) thì \(� � � �\) là hình vuông.

a) \(\Delta � � �\) vuông cân nên \(\hat{�} = \hat{�} = 45^{\circ} .\)

\(\Delta � � �\) vuông tại \(�\) có \(\hat{� � �} + \hat{�} = 90^{\circ}\)

Suy ra \(\hat{� � �} = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}\) nên \(\hat{�} = \hat{� � �} = 45^{\circ}\).

Vậy \(\Delta � � �\) vuông cân tại \(� .\)

b) Chứng minh tương tự câu a ta được \(\Delta � � �\) vuông cân tại \(�\) nên \(� � = � �\) và \(� � = � �\)

Mặt khác \(� � = � � = � �\) suy ra \(� � = � � = � �\) và \(� �\) // \(� �\) (cùng vuông góc với \(� � \left.\right)\)

Tứ giác \(� � � �\) có \(� �\) // \(� � , � � = � �\) nên là hình bình hành.

Hình bình hành \(� � � �\) có một góc vuông \(\hat{�}\) nên là hình chữ nhật

Hình chữ nhật \(� � � �\) có hai cạnh kề bằng nhau \(� � = � �\) nên là hình vuông.

Tứ giác OBAC có 3 góc vuông ∠B=∠C=∠BOC=90°

Nên OBAC là hình chữ nhật

MÀ A nằm trên tia phân OM suy ra AB=AC
Khi đó OABC là hình vuông