a) Chứng minh AMCK là hình thoi:

Xét tứ giác AIMK:

AI = CK (vì AI = IC = CK)

IM = IK (gt)

AI // CK (vì AC // MK)

⇒ AIMK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Mặt khác, AM là đường trung tuyến của tam giác vuông ABC nên AM = 1/2 BC.

Mà AI = IC = 1/2 AC

Suy ra: AM = AI = IC = CK

Hình bình hành AIMK có bốn cạnh bằng nhau nên AIMK là hình thoi.

b) Chứng minh AKMB là hình bình hành:

Ta có:

AK // MC (vì AK // IM và MC // IM)

AK = MC (vì AK = IM = MC)

⇒ AKMC là hình bình hành

Mà AMCK là hình thoi (cmt)

⇒ AM ⊥ CK

Trong tam giác vuông ABC, AM là đường trung tuyến nên AM cũng là đường cao.

⇒ AM ⊥ BC

Từ hai điều trên suy ra: CK ⊥ BC

Mà BK và AC cắt nhau tại M và cùng vuông góc với BC

⇒ Tứ giác AKMB là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

c) Điều kiện để AMCK là hình vuông:

Hình thoi AMCK là hình vuông khi và chỉ khi AM ⊥ AC.

Mà AM là đường trung tuyến của tam giác ABC vuông tại A nên AM cũng là đường cao.

Vậy để AMCK là hình vuông thì tam giác ABC vuông cân tại A

Vì ΔABC vuông cân tại A nên ∠B = ∠C = 45

Vì ΔBHE vuông tại H có ∠B = 45 nên ΔBHE vuông cân tại H.

Suy ra HB = HE

Vì ΔCGF vuông tại G, có ∠C = 45 nên ΔCGF vuông cân tại G

Suy ra GC = GF

Ta có: BH = HG = GC (gt)

Suy ra: HE = HG = GF

Vì EH // GF (hai đường thẳng cũng vuông góc với đường thắng thứ ba) nên tứ giác HEFG là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song bằng nhau);

Lại có ∠(EHG) = 90  nên HEFG là hình chữ nhật.

Mà EH = HG (chứng minh trên).

Vậy HEFG là hình vuông.

Vì ΔABC vuông cân tại A nên ∠B = ∠C = 45

Vì ΔBHE vuông tại H có ∠B = 45 nên ΔBHE vuông cân tại H.

Suy ra HB = HE

Vì ΔCGF vuông tại G, có ∠C = 45 nên ΔCGF vuông cân tại G

Suy ra GC = GF

Ta có: BH = HG = GC (gt)

Suy ra: HE = HG = GF

Vì EH // GF (hai đường thẳng cũng vuông góc với đường thắng thứ ba) nên tứ giác HEFG là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song bằng nhau);

Lại có ∠(EHG) = 90  nên HEFG là hình chữ nhật.

Mà EH = HG (chứng minh trên).

Vậy HEFG là hình vuông.