Xét tam giác ABC có BC ⊥ AB' và B'C'⊥ AB' nên suy ra BC // B'C'.

Theo hệ quả định lí Thalès, ta có:

AB/AB′=BC/BC′⇒x/x+h=a/a′

⇒a′x=a(x+h)⇒a′x−ax=ah

⇒x(a′−a)=ah⇒x=ah/a′−a (đpcm).

Trong tam giác ADB, ta có: MN // AB (gt)

Suy ra DN/DB=MN/AB (hệ quả định lí Thalès) (1)

Trong tam giác ACB, ta có: PQ // AB (gt)

Suy ra CQ/CB=PQ/AB (hệ quả định lí Thalès) (2)

Lại có: NQ // AB (gt)

            AB // CD (gt)

Suy ra NQ // CD

Trong tam giác BDC, ta có: NQ // CD (chứng minh trên)

Suy ra DN/DB=CQ/CB (định lí Thalès) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MN/AB=PQ/AB hay MN = PQ (đpcm).

Lấy D là trung điểm của cạnh BC.

Khi đó, AD là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên điểm G nằm trên cạnh AD.

Ta có AG/AD=2/3 hay AG=2/3AD.

Vì MG // AB, theo định lí Thalès, ta suy ra: AG/AD=BM/BD=2/3.

Ta có BD = CD (vì D là trung điểm của cạnh BC) nên BM/BC=BM/2BD=2/2.3=1/3.

Do đó BM=1/3BC (đpcm).

Ta có: AB // CD (gt), áp dụng hệ quả của định lý Ta – lét ta có:

Suy ra OA/OC=OB/OD (hệ quả định lí ta-lét)

Vậy OA.OD = OB.OC

Áp dụng định lí Thalès, ta có:

• Vì DE // AC nên AE/AB=CD/BC

• Vì DF // AB nên AF/AC=BD/BC

Khi đó, AE/AB+AF/AC=CD/BC+BD/BC=1(đpcm).

Trong ∆ABC có các đường trung tuyến BD, CE nên D là trung điểm của AC, E là trung điểm của AB nên ED là đường trung bình của ∆ABC

Suy ra ED=1/2BC và ED // BC (tính chất đường trung bình của tam giác)

Ta có: E là trung điểm của AB nên AE=EB=1/2AB

Mà M là trung điểm của EB nên EM=MB=1/2EB=1/4AB hay MB/AB=1/4

Tương tự, ta cũng có NC=1/4AC hay NC/AC=1/4

Suy ra MB/AB=NC/AC(=1/4)

Xét tam giác ABC có MB/AB=NC/AC nên MN // BC (định lí Thalès đảo)

Lại có ED // BC nên ED // MN // BC.

Xét DBDE có M là trung điểm của EB và MI // ED (do ED // MN)

Suy ra I là trung điểm của BD hay IB = ID

Khi đó MI là đường trung bình của DB/DE nên MI=1/2ED.

Tương tự, trong tam giác CDE ta cũng có KN=1/2ED, trong tam giác BCE có MK=12BC.

Ta có IK=MK−MI=1/2BC−1/2ED=ED−1/2ED=1/2ED.

Do đó MI=IK=KN=1/2ED.

a) Xét \(\Delta A B C\) có NA = NB ; MA = MC

=> MN là đường trung bình của \(\Delta A B C\)

=> MN // BC và MN = 1/2 BC (1)

Xét \(\Delta G B C\) có : DG = DB ; EG = EC

=> DE là đường trung bình của \(\Delta G B C\)

=> DE // BC và DE = 1/2 BC (2)

từ (1) và (2) => DE = MN và DE //MN

b) Có DE = MN ; DE // MN

=> DEMN là hình bình hành

=> ND = ME

a/ Gọi E là trung điểm của MC

Từ giả thiết:  AM=1/2MC nên AM = ME = EC

Xét tam giác BCM có ME = EC (cmt); DB = DC (gt)

⇒ DE là đường trung bình của tam giác BCM

⇒ DE // BM 

Xét tam giác ADE có

AM = ME (cmt)

BM // DE (cmt)

⇒ OM // DE

⇒ OA = OD (trong tam giác đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

b/ Ta có DE là đường trung bình của tam giác BCM ⇒ DE=1/2BM

Xét tam giác ADE có

OA=OD (cmt); AM=ME (cmt) ⇒ OM là đường trung bình của tam giác ADE

⇒ OM=1/2DE=1/2.1/2BM=1/4BM

Gọi K là trung điểm của CD

a: Xét ΔBDC có 

M là trung điểm của BC

K là trung điểm của CD

Do đó: MK là đường trung bình

=>MK//BD

hay ID//MK

Xét ΔAMK có 

I là trung điểm của AM

ID//MK

Do đó: D là trung điểm của AK

=>AD=DK=KC

=>AD=1/2DC

b: Xét ΔAMK có 

I là trung điểm của AM

D là trung điểm của AK

Do đó: ID là đường trung bình

=>ID=MK/2

hay MK=2ID

Ta có: MK là đường trung bình của ΔBDC

nên MK=BD/2

=>BD/2=2ID

hay BD=4ID

Trong tam giác ABC, BN là tia phân giác của góc B, ta có:

AN/NC=AB/BC=b/a ( t/c đường phân giác của tam giác )

Từ đó, suy ra:

AN/AN+NC=b/a+b=>AN/AC=b/a+b

Vì tam giác ABC cân tại A( AB=AC=b), tia phân giác BN,CM lần lượt của AB,AC

=> AN=AM

Xét tam giác ABC có:

AM/AB=AN/AC=b/a+b

=> MN//BC ( định lí ta-lét đảo )

Vì MN//BC (cmt), ta có:

MN/BC=AN/AC

MN/a=b/a+b

=> MN=ab/a+b

Vậy MN=ab/a+b (theo a và b).