Chứng minh

Giả sử \(n\) là số tự nhiên và \(3 \mid n\) (tức \(n\) chia hết cho \(3\)). Ta cần chứng minh \(6 \mid n \left(\right. n + 1 \left.\right)\).

Xét tính chẵn/lẻ của \(n\):

• Nếu \(n\) chẵn thì \(2 \mid n\). Vì \(3 \mid n\) nên khi đó \(2\) và \(3\) cùng chia \(n\), suy ra \(6 \mid n\), do đó \(6 \mid n \left(\right. n + 1 \left.\right)\).
• Nếu \(n\) lẻ thì \(n + 1\) là số chẵn, tức \(2 \mid \left(\right. n + 1 \left.\right)\). Do \(3 \mid n\) nên \(3 \mid n \left(\right. n + 1 \left.\right)\). Vì còn có \(2 \mid \left(\right. n + 1 \left.\right)\), nên cả \(2\) và \(3\) đều chia \(n \left(\right. n + 1 \left.\right)\). Do \(2\) và \(3\) nguyên tố cùng nhau, suy ra \(6 \mid n \left(\right. n + 1 \left.\right)\).

Trong cả hai trường hợp, \(6\) chia \(n \left(\right. n + 1 \left.\right)\). Vậy với mọi \(n \in \mathbb{N}\), nếu \(3 \mid n\) thì \(6 \mid n \left(\right. n + 1 \left.\right)\). ∎

Chứng minh

Giả sử \(n\) là số tự nhiên và \(n\) lẻ.
Khi đó tồn tại số nguyên \(k\) sao cho

\(n = 2 k + 1.\)

Tính \(n^{3}\):

\(n^{3} = \left(\right. 2 k + 1 \left.\right)^{3} = 8 k^{3} + 3 \cdot 4 k^{2} + 3 \cdot 2 k + 1 = 8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1.\)

Nhóm các hạng tử chẵn:

\(8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1 = 2 \left(\right. 4 k^{3} + 6 k^{2} + 3 k \left.\right) + 1.\)

Vì \(4 k^{3} + 6 k^{2} + 3 k\) là số nguyên, nên \(n^{3}\) có dạng \(2 m + 1\) với một số nguyên \(m\). Do đó \(n^{3}\) là số lẻ.

Vậy, với mọi số tự nhiên \(n\), nếu \(n\) lẻ thì \(n^{3}\) cũng lẻ. ∎