a: ΔABC vuông cân tại A mà AM là trung tuyến nên AM là phân giác của góc BAC Xét tứ giác AEDF có góc AED=góc AFD=góc FAE=90 độ AD là phân giác của góc FAE =>AEDF là hình vuông

b: AEDF là hình vuông =>góc AEF=45 độ =>góc AEF=góc ABC =>EF//BC

c. V AND = 180 - ( V ADE + V EDF ) Ta có : AED và DEF đều = 90 AND = 180 - 90 - 90 = 0 => AND = 90

a: Xét tứ giác ADME có góc ADM=góc AEM=góc DAE=90 độ =>ADME là hình chữ nhật

b; Xét ΔABC có M là trung điểm của BC MD//AC =>D là trung điểm của AB Xét tứ giác AMBI có D là trung điểm chung của AB và MI =>AMBI là hình bình hành mà MA=MB nên AMBI là hình thoi

c: AMBI là hình vuông =>góc AMB=90 độ Xét ΔABC có AM vừa là đường cao, vừa là trung tuyến =>ΔABC cân tại A =>AB=AC

d.Gọi AM PQ = F

Ta có HP vuông góc AB

HQ vuông góc với AC

AB vuông góc với AB

APHQ là hình chữ nhật

FAQ=MAC=C=90°-HAC

HAP=APQ

Tam giác QFA = tam giác QAP (g.g)

QFA=QAP=90°

AM vuông góc với QP

a: Xét tứ giác ABCD có N là trung điểm chung của AC và BD =>ABCD là hình bình hành

b: Ta có: ABCD là hình bình hành =>AD//BC Ta có: AD//BC AP ⊥ ⊥BC Do đó: AP ⊥ ⊥AD Ta có: AP ⊥ ⊥AD CQ ⊥ ⊥AD Do đó: AP//CQ ta có: AD//CB Q ∈ Q∈AD P ∈ ∈BC Do đó: AQ//CP Xét tứ giác APCQ có

AP//CQ AQ//CP Do đó: APCQ là hình bình hành =>AC cắt PQ tại trung điểm của mỗi đường mà N là trung điểm của AC nên N là trung điểm của PQ =>P,N,Q thẳng hàng

Để hình bình hành ABCD trở thành hình vuông thì ABCD vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi(1) Hình bình hành ABCD trở thành hình chữ nhật khi ABC=90°(2) Hình bình hành ABCD trở thành hình thoi khi BA=BC(3) Từ (1),(2),(3) suy ra

ABC=90°
BA=BC

) Ta có: BM = MC vì M là trung điểm BC AN = ND vì N là trung điểm AD Phần a Nên MN là đường trung bình ABCD Suy ra: MN // AB // CD Lại có: BC = AD, nên BM = AN Xét ABMN có: BM // AN và BM = AN nên ABMN là hình bình hành Suy ra: MN = AB Mà AB = CD nên MN = CD Lại có: AD = BC = 2AB nên ND = MC = AB = CD = MN Vì MNDC là hình thoi Phần b

Xét tứ giác BMDA có: BM // AD nên BMAD là hình thang Vì MNDC là hình thoi nên MC = CD Nên tam giác MCD cân tại C Mà: MCD và BAD=60 Nên tâm giác MCD đều

Suy ra MC=CD=MD

Mà CD=AB nên MD=BA

Vậy BMDA là hình thang cân

Ta có thể chứng minh ΔAOP = ΔBOR bằng cách sử dụng góc vuông và góc đồng quy. Vì hai đường thẳng m và n vuông góc với nhau tại O, nên góc AOP và góc BOR là góc vuông. Đồng thời, ta cũng có góc OPA = góc ORB (do OP và OR là hai cạnh của hình vuông OPRQ). Vì vậy, theo góc đồng quy, ta có ΔAOP = ΔBOR.

Phần b

Vì O là giao điểm của hai đường chéo của hình vuông ABCD, nên ta có OP = OR = OS = OQ

Phần c

Ta cũng có thể chứng minh PRSQ là hình vuông bằng cách sử dụng góc vuông và góc đồng quy. Vì hai đường thẳng m và n vuông góc với nhau tại O, nên góc PQR và góc PSR là góc vuông. Đồng thời, ta cũng có góc QPR = góc RPS (do PQ và RS là hai cạnh của hình vuông PRSQ). Vì vậy, theo góc đồng quy, ta có PRSQ là hình vuông. Vậy, ΔAOP = ΔBOR, OP = OR = OS = OQ và PRSQ là hình vuông.