• Xét  △ABC△𝐴𝐵𝐶: Vì  BD𝐵𝐷 và  CE𝐶𝐸 là các đường trung tuyến nên  E𝐸 là trung điểm của  AB𝐴𝐵 và  D𝐷 is là trung điểm của  AC𝐴𝐶.
• Suy ra  ED𝐸𝐷 là đường trung bình của  △ABC⟹ED∥BC△𝐴𝐵𝐶⟹𝐸𝐷∥𝐵𝐶 và  ED=12BC𝐸𝐷=12𝐵𝐶.
• Xét tứ giác  BEDC𝐵𝐸𝐷𝐶: Vì  ED∥BC𝐸𝐷∥𝐵𝐶 nên  BEDC𝐵𝐸𝐷𝐶 là hình thang.

1. Xét  △ABC△𝐴𝐵𝐶:
2. • N𝑁 là trung điểm của  AB𝐴𝐵 (do  CN𝐶𝑁 là trung tuyến).
   • M𝑀 là trung điểm của  AC𝐴𝐶 (do  BM𝐵𝑀 là trung tuyến).
   • ⟹MN⟹𝑀𝑁 là đường trung bình của  △ABC△𝐴𝐵𝐶.
   • ⟹MN∥BC⟹𝑀𝑁∥𝐵𝐶 và  MN=12BC𝑀𝑁=12𝐵𝐶 (1).
3. Xét  △GBC△𝐺𝐵𝐶:
4. • D𝐷 là trung điểm của  GB𝐺𝐵 (giả thiết).
   • E𝐸 là trung điểm của  GC𝐺𝐶 (giả thiết).
   • ⟹DE⟹𝐷𝐸 là đường trung bình của  △GBC△𝐺𝐵𝐶.
   • ⟹DE∥BC⟹𝐷𝐸∥𝐵𝐶 và  DE=12BC𝐷𝐸=12𝐵𝐶 (2).
5. Kết luận: Từ (1) và (2), theo tính chất bắc cầu, ta có  MN∥DE𝑀𝑁∥𝐷𝐸 (và chúng cùng bằng nhau).

1. Từ chứng minh ở câu (a):
2. • Ta đã có  MN∥DE𝑀𝑁∥𝐷𝐸.
   • Ta cũng có  MN=12BC𝑀𝑁=12𝐵𝐶 và  DE=12BC𝐷𝐸=12𝐵𝐶, suy ra  MN=DE𝑀𝑁=𝐷𝐸.
3. Xét tứ giác  MNDE𝑀𝑁𝐷𝐸:
4. • Tứ giác này có một cặp cạnh đối ( MN𝑀𝑁 và  DE𝐷𝐸) vừa song song vừa bằng nhau.
   • Theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành,  MNDE𝑀𝑁𝐷𝐸 là một hình bình hành.
5. Kết luận:
6. • Vì  MNDE𝑀𝑁𝐷𝐸 là hình bình hành nên cặp cạnh đối còn lại phải song song với nhau.
   • Vậy  ND∥ME𝑁𝐷∥𝑀𝐸 (đpcm

1. Xét  △BCM△𝐵𝐶𝑀:
2. • D𝐷 là trung điểm  BC𝐵𝐶 (giả thiết).
   • DK∥BM𝐷𝐾∥𝐵𝑀 (cách vẽ).
   • Theo định lý đường trung bình trong tam giác:  K𝐾 phải là trung điểm của  MC𝑀𝐶.
   • ⟹MK=KC=12MC⟹𝑀𝐾=𝐾𝐶=12𝑀𝐶.
3. Liên hệ với điểm  M𝑀:
4. • Theo đề bài:  AM=12MC𝐴𝑀=12𝑀𝐶.
   • Từ đó suy ra:  AM=MK𝐴𝑀=𝑀𝐾 (vì cùng bằng  12MC12𝑀𝐶).
   • ⟹M⟹𝑀 là trung điểm của  AK𝐴𝐾.
5. Xét  △ADK△𝐴𝐷𝐾:
6. • M𝑀 là trung điểm của  AK𝐴𝐾 (chứng minh trên).
   • MO∥DK𝑀𝑂∥𝐷𝐾 (do  BM∥DK𝐵𝑀∥𝐷𝐾).
   • Theo tính chất đường trung bình: Một đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
   • ⟹O⟹𝑂 là trung điểm của  AD𝐴𝐷 (đpcm).

1. Trong  △ADK△𝐴𝐷𝐾:
2. • Vì  M𝑀 là trung điểm  AK𝐴𝐾 và  O𝑂 là trung điểm  AD𝐴𝐷, nên  OM𝑂𝑀 là đường trung bình.
   • ⟹OM=12DK⟹𝑂𝑀=12𝐷𝐾 (1).
3. Trong  △BCM△𝐵𝐶𝑀:
4. • Vì  D𝐷 là trung điểm  BC𝐵𝐶 và  K𝐾 là trung điểm  MC𝑀𝐶, nên  DK𝐷𝐾 là đường trung bình.
   • ⟹DK=12BM⟹𝐷𝐾=12𝐵𝑀 (2).
5. Thay (2) vào (1):
6. • OM=12×(12BM)=14BM𝑂𝑀=12×12𝐵𝑀=14𝐵𝑀.
   • ⟹⟹  OM=14BM𝑂𝑀=14𝐵𝑀 (đpcm).

1. Xét  △BDC△𝐵𝐷𝐶:
2. • M𝑀 là trung điểm của  BC𝐵𝐶 (do  AM𝐴𝑀 là trung tuyến).
   • E𝐸 là trung điểm của  DC𝐷𝐶 (theo cách vẽ).
   • ⟹ME⟹𝑀𝐸 là đường trung bình của  △BDC△𝐵𝐷𝐶.
   • ⟹ME∥BD⟹𝑀𝐸∥𝐵𝐷 (hay  ME∥ID𝑀𝐸∥𝐼𝐷).
3. Xét  △AME△𝐴𝑀𝐸:
4. • I𝐼 là trung điểm của  AM𝐴𝑀 (giả thiết).
   • ID∥ME𝐼𝐷∥𝑀𝐸 (chứng minh trên).
   • Theo định lí đường trung bình trong tam giác: Nếu một đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
   • ⟹D⟹𝐷 là trung điểm của  AE𝐴𝐸.
   • ⟹AD=DE⟹𝐴𝐷=𝐷𝐸.
5. Kết luận:
6. • Vì  E𝐸 là trung điểm  DC𝐷𝐶 nên  DE=EC=12DC𝐷𝐸=𝐸𝐶=12𝐷𝐶.
   • Mà  AD=DE𝐴𝐷=𝐷𝐸 nên  AD=12DC𝐴𝐷=12𝐷𝐶 (đpcm).

Xét 

 cân tại 

 có 

 và 

.
Đường phân giác 

 của 

 (

) chia cạnh đối diện 

 theo tỉ lệ các cạnh kề:

1. • 𝑎(𝑥+ℎ)=𝑎′𝑥
   • ax+ah=a′x𝑎𝑥+𝑎ℎ=𝑎′𝑥
   • ah=a′x−ax𝑎ℎ=𝑎′𝑥−𝑎𝑥
   • ah=x(a′−a)𝑎ℎ=𝑥(𝑎′−𝑎)
2. Kết luận: 

Gọi 

 là trung điểm của cạnh 

. Theo tính chất trọng tâm 

của tam giác 

, đường trung tuyến 

 đi qua 

 và 

, dẫn đến 

1. Xét  △OAB△𝑂𝐴𝐵 và  △OCD△𝑂𝐶𝐷:
2. • Vì  AB∥CD𝐴𝐵∥𝐶𝐷 (giả thiết hình thang  ABCD𝐴𝐵𝐶𝐷), ta có:
   • • OAB̂=OCD̂𝑂𝐴𝐵=𝑂𝐶𝐷 (hai góc so le trong)
     • OBÂ=ODĈ𝑂𝐵𝐴=𝑂𝐷𝐶 (hai góc so le trong)
3. Kết luận đồng dạng:
4. • Suy ra  △OAB∼△OCD△𝑂𝐴𝐵∼△𝑂𝐶𝐷 theo trường hợp góc-góc (g.g).
5. Thiết lập tỷ số:
6. • Từ cặp tam giác đồng dạng, ta có tỷ số các cạnh tương ứng:
     OAOC=OBOD𝑂𝐴𝑂𝐶=𝑂𝐵𝑂𝐷
7. Kết luận:
8. • Nhân chéo tỷ số trên, ta được:
     OA⋅OD=OB⋅OC𝑂𝐴⋅𝑂𝐷=𝑂𝐵⋅𝑂𝐶 (đpcm).