• D𝐴𝐷là đường kính của đường tròn  (O)(𝑂).
• Góc  ∠ACD∠𝐴𝐶𝐷là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. 
• Do đó,  ∠ACD=90∘∠𝐴𝐶𝐷=90∘.
• CD⟂AC𝐶𝐷⟂𝐴𝐶.
• H𝐻là trực tâm của tam giác  ABC𝐴𝐵𝐶.
• BH⟂AC𝐵𝐻⟂𝐴𝐶.
• Từ đó,  BH∥CD𝐵𝐻∥𝐶𝐷.
• Tương tự,  ∠ABD=90∘∠𝐴𝐵𝐷=90∘.
• BD⟂AB𝐵𝐷⟂𝐴𝐵.
• CH⟂AB𝐶𝐻⟂𝐴𝐵.
• Từ đó,  CH∥BD𝐶𝐻∥𝐵𝐷.
  • Tứ giác  BHCD𝐵𝐻𝐶𝐷có các cặp cạnh đối song song. 
  • BH∥CD𝐵𝐻∥𝐶𝐷và  CH∥BD𝐶𝐻∥𝐵𝐷.
  • Do đó, tứ giác  BHCD𝐵𝐻𝐶𝐷là hình bình hành.
    • Tứ giác  BHCD𝐵𝐻𝐶𝐷là hình bình hành. 
    • Theo quy tắc hình bình hành, 

1. Gọi  M𝑀là trung điểm của  AC𝐴𝐶.
2. OM𝑂𝑀là đường trung bình của tam giác  B′BC𝐵′𝐵𝐶.
3. OM𝑂𝑀song song với  BC𝐵𝐶và  OM=12BC𝑂𝑀=12𝐵𝐶.
4. AH𝐴𝐻vuông góc với  BC𝐵𝐶vì  H𝐻là trực tâm. 
5. OM𝑂𝑀vuông góc với  AC𝐴𝐶vì  M𝑀là trung điểm của dây  AC𝐴𝐶.
6. AH𝐴𝐻song song với  OM𝑂𝑀vì cả hai đều vuông góc với  BC𝐵𝐶.
7. AH𝐴𝐻song song với  B′C𝐵′𝐶vì  OM𝑂𝑀song song với  B′C𝐵′𝐶.
8. AH𝐴𝐻bằng  B′C𝐵′𝐶vì  AH=2OM=BC𝐴𝐻=2𝑂𝑀=𝐵𝐶và  B′C=2OM=BC𝐵′𝐶=2𝑂𝑀=𝐵𝐶.
9. Tứ giác  AHCB′𝐴𝐻𝐶𝐵′là hình bình hành. 
10. Do đó,  AH⃗=B′C⃗𝐴𝐻⃗=𝐵′𝐶⃗.

• Sử dụng phép toán vector:
• • Từ định nghĩa, ta có  AB⃗=BA⃗𝐴𝐵⃗=𝐵𝐴⃗ và  BC⃗=CB⃗𝐵𝐶⃗=𝐶𝐵⃗.
  • Do D đối xứng với A qua B nên  BD⃗=AB⃗𝐵𝐷⃗=𝐴𝐵⃗.
  • Do E đối xứng với B qua C nên  CE⃗=BC⃗𝐶𝐸⃗=𝐵𝐶⃗.
  • Do F đối xứng với C qua A nên  AF⃗=AC⃗𝐴𝐹⃗=𝐴𝐶⃗.
  • Ta có  AM⃗=12(AB⃗+AC⃗)𝐴𝑀⃗=12(𝐴𝐵⃗+𝐴𝐶⃗).
  • Suy ra  NM⃗=NC⃗+CA⃗+AM⃗=12CA⃗+AB⃗+12AC⃗+12AF⃗𝑁𝑀⃗=𝑁𝐶⃗+𝐶𝐴⃗+𝐴𝑀⃗=12𝐶𝐴⃗+𝐴𝐵⃗+12𝐴𝐶⃗+12𝐴𝐹⃗.
  • Vì  AB⃗=NM⃗𝐴𝐵⃗=𝑁𝑀⃗ nên ta có  12NM⃗=12AB⃗12𝑁𝑀⃗=12𝐴𝐵⃗.
  • Do đó  NM⃗=AB⃗𝑁𝑀⃗=𝐴𝐵⃗. 

• Sử dụng phép toán vector:
• • Ta có  MK⃗=DG⃗𝑀𝐾⃗=𝐷𝐺⃗ và  NI⃗=AG⃗𝑁𝐼⃗=𝐴𝐺⃗.
  • Do G là giao điểm của trung tuyến AM và trung tuyến DN, nên G là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DEF.
  • Do I là trung điểm của GA nên  AI⃗=IG⃗=12GA⃗𝐴𝐼⃗=𝐼𝐺⃗=12𝐺𝐴⃗.
  • Do K là trung điểm của GD nên  GK⃗=KD⃗=12GD⃗𝐺𝐾⃗=𝐾𝐷⃗=12𝐺𝐷⃗.
  • Suy ra  MK⃗=MG⃗+GK⃗=12(MA⃗+MD⃗)+12GD⃗𝑀𝐾⃗=𝑀𝐺⃗+𝐺𝐾⃗=12(𝑀𝐴⃗+𝑀𝐷⃗)+12𝐺𝐷⃗.
  • Do  MK⃗=NI⃗𝑀𝐾⃗=𝑁𝐼⃗, ta có  12AB⃗=12NM⃗12𝐴𝐵⃗=12𝑁𝑀⃗.
  • Do đó  MK⃗=NI⃗𝑀𝐾⃗=𝑁𝐼⃗.

Gọi \vec A=\vec a,\ \vec B=\vec b,\ \vec C=\vec c,\ \vec E=\vec e,\ \vec F=\vec f là các vector vị trí (gốc tùy ý). Vì hai tam giác ABC và AEF có cùng trọng tâm G, nên

\vec G=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}=\frac{\vec a+\vec e+\vec f}{3}.

Nhân cả hai vế với 3 và rút gọn \vec a ta được

\vec b+\vec c=\vec e+\vec f.

Suy ra

\vec e-\vec b=\vec c-\vec f.

Nhưng \overrightarrow{BE}=\vec e-\vec b và \overrightarrow{FC}=\vec c-\vec f. Vậy

\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{FC}.

Từ đó theo hình học: đoạn BE song song và có cùng chiều, cùng độ dài với FC, tức BE=FC và hướng BE bằng hướng FC. □

Ta đặt toạ độ thuận tiện cho hình vuông tâm O:

A(1,1),\; B(-1,1),\; C(-1,-1),\; D(1,-1),\; O(0,0).

(Ta chỉ dùng toạ độ để so sánh véc-tơ; kết quả hình học là đúng với mọi hình vuông.)

Tính các véc-tơ \overrightarrow{XY}=\text{coord}(Y)-\text{coord}(X). Các véc-tơ bằng nhau (cùng hướng và cùng độ dài) nhóm lại như sau:

1. \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=(-2,0)
2. \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}=(2,0)
3. \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=(0,-2)
4. \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}=(0,2)
5. \overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}=(-1,-1)
6. \overrightarrow{CO}=\overrightarrow{OA}=(1,1)
7. \overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OD}=(1,-1)
8. \overrightarrow{DO}=\overrightarrow{OB}=(-1,1)

Các véc-tơ chéo \overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{CA},\ \overrightarrow{BD},\ \overrightarrow{DB} thì không có véc-tơ khác trong tập {A,B,C,D,O} bằng chúng (tức mỗi cái đứng một nhóm riêng):

• \overrightarrow{AC}=(-2,-2) (duy nhất)
• \overrightarrow{CA}=(2,2) (duy nhất)
• \overrightarrow{BD}=(2,-2) (duy nhất)
• \overrightarrow{DB}=(-2,2) (duy nhất)

Đặt \vec{A}=\vec{a},\ \vec{B}=\vec{b},\ \vec{C}=\vec{c} là các vectơ vị trí của A,B,C (gốc tùy ý). Vì D,E,F là trung điểm của BC,CA,AB nên

\vec{D}=\tfrac{\vec{B}+\vec{C}}{2},\qquad \vec{E}=\tfrac{\vec{C}+\vec{A}}{2},\qquad \vec{F}=\tfrac{\vec{A}+\vec{B}}{2}.

Tính véc-tơ \overrightarrow{EF}=\vec{F}-\vec{E}:

\overrightarrow{EF} =\frac{\vec{A}+\vec{B}}{2}-\frac{\vec{C}+\vec{A}}{2} =\frac{\vec{B}-\vec{C}}{2}.

Tính véc-tơ \overrightarrow{CD}=\vec{D}-\vec{C}:

\overrightarrow{CD} =\frac{\vec{B}+\vec{C}}{2}-\vec{C} =\frac{\vec{B}-\vec{C}}{2}.

Vậy \overrightarrow{EF}=\overrightarrow{CD}.

Ta đặt toạ độ thuận tiện cho hình vuông tâm O:

A(1,1),\; B(-1,1),\; C(-1,-1),\; D(1,-1),\; O(0,0).

(Ta chỉ dùng toạ độ để so sánh véc-tơ; kết quả hình học là đúng với mọi hình vuông.)

Tính các véc-tơ \overrightarrow{XY}=\text{coord}(Y)-\text{coord}(X). Các véc-tơ bằng nhau (cùng hướng và cùng độ dài) nhóm lại như sau:

1. \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=(-2,0)
2. \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}=(2,0)
3. \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=(0,-2)
4. \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}=(0,2)
5. \overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}=(-1,-1)
6. \overrightarrow{CO}=\overrightarrow{OA}=(1,1)
7. \overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OD}=(1,-1)
8. \overrightarrow{DO}=\overrightarrow{OB}=(-1,1)

Các véc-tơ chéo \overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{CA},\ \overrightarrow{BD},\ \overrightarrow{DB} thì không có véc-tơ khác trong tập {A,B,C,D,O} bằng chúng (tức mỗi cái đứng một nhóm riêng):

• \overrightarrow{AC}=(-2,-2) (duy nhất)
• \overrightarrow{CA}=(2,2) (duy nhất)
• \overrightarrow{BD}=(2,-2) (duy nhất)
• \overrightarrow{DB}=(-2,2) (duy nhất)