M là trung điểm \(B C \Rightarrow \overset{\rightarrow}{B M} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C}\)
\(N\) là trung điểm \(A D \Rightarrow \overset{\rightarrow}{A N} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A D}\)

\(\overset{\rightarrow}{A M} = \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C} + \overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{N C}\)

⇒ \(\boxed{\overset{\rightarrow}{A M} = \overset{\rightarrow}{N C}}\)

Vì \(A M \parallel N C , \&\text{nbsp}; B N \parallel D K\)
→ \(A M N C\) và \(B N K D\) là hai hình bình hành
→ Các đường chéo cắt nhau tại trung điểm
⇒ \(\boxed{\overset{\rightarrow}{D K} = \overset{\rightarrow}{N I}}\)

Mà \(A B C D\) là hình bình hành nên

Gọi \(\overset{⃗}{A} , \overset{⃗}{B} , \overset{⃗}{C}\) là vectơ vị trí của các đỉnh \(A , B , C\). Vì \(D , E , F\) là trung điểm của \(B C , C A , A B\) nên

\(\overset{⃗}{D} = \frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{2} , \overset{⃗}{E} = \frac{\overset{⃗}{C} + \overset{⃗}{A}}{2} , \overset{⃗}{F} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B}}{2} .\)

Tính vectơ \(\overset{\rightarrow}{E F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{E}\):

\(\overset{\rightarrow}{E F} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B}}{2} - \frac{\overset{⃗}{C} + \overset{⃗}{A}}{2} = \frac{\overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{C}}{2} .\)

Tính vectơ \(\overset{\rightarrow}{C D} = \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{C}\):

\(\overset{\rightarrow}{C D} = \frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{2} - \overset{⃗}{C} = \frac{\overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{C}}{2} .\)

Vậy

\(\boxed{\overset{\rightarrow}{E F}=\overset{\rightarrow}{C D}},\)

AB=DC,BC=AD,AO=OC,BO=OD,​BA=CD,CB=DA,OA=CO,OB=DO.​AB=DC,BC=AD,AO=OC,BO=OD,​BA=CD,CB=DA,OA=CO,OB=DO.​

do đối xứng và các cạnh bằng nhau của hình vuông, các vectơ song song cùng độ dài và cùng hướng (ví dụ \(\overset{\rightarrow}{A B}\) và \(\overset{\rightarrow}{D C}\)) là bằng nhau; tương tự tâm \(O\) nằm ở giữa các đỉnh nên các vectơ từ đỉnh tới \(O\) và từ \(O\) tới đỉnh đối diện tương ứng cũng cho được các cặp bằng nhau như trên. Các vectơ đường chéo (ví dụ \(\overset{\rightarrow}{A C} , \&\text{nbsp}; \overset{\rightarrow}{B D}\)) không có cặp bằng khác trong tập điểm này.