a) AHCK là hình bình hành AH vuông với BD và CK vuông với BD => AH ∥ CK. Ở hình bình hành ABCD, AD ∥ BC và AB ∥ CD; từ đó có AH = CK qua so sánh hai tam giác vuông AHB và CKD (góc vuông, cạnh huyền tương ứng, và hai cạnh kề tương ứng bằng nhau vì AB = CD). Vì AH ∥ CK và AH = CK, AHCK là hình bình hành. b) IB = ID với I là trung điểm HK Vì AHCK là hình bình hành nên hai đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường; gọi I là trung điểm HK, nên I cũng là giao điểm của HK với AC, tức I là trung điểm của AC. Trong hình bình hành ABCD, giao điểm của AC và BD là trung điểm của BD; đường IJ (I trung điểm của AC, J trung điểm của BD) là đường trung bình, cho IJ ∥ AB và IJ ∥ CD, và IB = ID theo tính chất dấu hiệu đối xứng ở tam giác có chung cạnh BD với hai tam giác bằng nhau tại J. Do đó IB = ID.

a) EBFD hình bình hành: AD // BC và AD = BC; E, D chia AD, F, B chia BC sao cho DE = BF và DE // BF. Vậy EBFD có cạnh đối song song và bằng nhau → EBFD là hình bình hành. b) E, O, F thẳng hàng: Trong EBFD là hình bình hành nên đường chéo EF và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. O là giao điểm của AC và BD, là trung điểm của BD. Vì trung điểm BD trùng với giao điểm EF, nên O là trung điểm của EF, tức E, O, F thẳng hàng.

BM và CN là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên M là trung điểm của AC và N là trung điểm của AB. P và Q là trung điểm của GB và GC trong tam giác GBC. Theo định lý đường trung bình, PQ ∥ BC và PQ = 1/2 BC. Tương tự, MN là đường trung bình của tam giác ABC, nên MN ∥ BC và MN = 1/2 BC. Do PQ ∥ MN và PQ = MN, tứ giác PQMN là hình bình hành.

a) AEFD và ABFC là hình bình hành AEFD: B là trung điểm AE nên AB = BE. Với ABCD là hình bình hành, AB = CD và AE ∥ DF (vì AE song song với DC). Cộng với AE = DF (với B là trung điểm AE và ABCD đối xứng), ta có một cặp cạnh đối bằng nhau và song song → AEFD là hình bình hành. ABFC: C là trung điểm DF nên CF = CD. Với ABCD là hình bình hành, AB = CD ⇒ AB = CF. Có AB ∥ CF và AB = CF → ABFC là hình bình hành. b) Trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau BCFE là hình bình hành (BE ∥ CF và BE = CF). Nên trung điểm của BC trùng với trung điểm của EF. AEFD là hình bình hành nên N = giao AF và DE là trung điểm của AF và DE. Do cùng là trung điểm của EF và AF, DE nên các trung điểm AF, DE, BC trùng nhau.

Chứng minh _: _ (O là trung điểm AC) _ (so le trong, AB // CD) _ (đối đỉnh) _ (G-C-G) Suy ra MBND là hình bình hành: Từ _. O là trung điểm BD (tính chất hình bình hành). Vậy MBND là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Chứng minh _: _ (O là trung điểm AC) _ (so le trong, AB // CD) _ (đối đỉnh) _ (G-C-G) Suy ra MBND là hình bình hành: Từ _. O là trung điểm BD (tính chất hình bình hành). Vậy MBND là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD. Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE = BE = 1/2 AB, CF = DF = 1/2 CD Do đó AE = BE = CF = DF. Xét tứ giác AEFD có: AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên) Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành. Xét tứ giác AECF có: AE // CF (vì AB // CD); AE = CF (chứng minh trên) Do đó tứ giác AECF là hình bình hành. Vậy hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành. b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD. Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC. Vậy EF = AD, AF = EC