do ABCD là hình bình hành nên AD//BC,AD=BC

do AD//BC nên ADN=CBD

xét ADH và CBK có

AHD=CLB=90°

AD=BC

ADH=CBK

do đó ADH=CBK

suy ra AH=CK

ta có AH vuông góc với DB và CK vuông góc với DB nên AH//CK

tứ giác AHCK có AH//CK và AH=CK nên AHCK là hình bình hành

do AHCK là hình bình hành nên hai đường chéo AC và HK cắt nhau tại chúng điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của AC nên I là trung điểm của BD,hay IB=ID

do ABCD là hình bình hành nên AD//BC,AD=BC

do AD//BC nên ADN=CBD

xét ADH và CBK có

AHD=CLB=90°

AD=BC

ADH=CBK

do đó ADH=CBK

suy ra AH=CK

ta có AH vuông góc với DB và CK vuông góc với DB nên AH//CK

tứ giác AHCK có AH//CK và AH=CK nên AHCK là hình bình hành

do AHCK là hình bình hành nên hai đường chéo AC và HK cắt nhau tại chúng điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của AC nên I là trung điểm của BD,hay IB=ID

ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành

b,Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Xét tam giác ABCD có hai đường trung tuyến

BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của ABC

Suy ra GM=GB//GN.GC:2

Mà P là trung điểm của GB nên GP=PN=GC

Q là trung điểm của GC nên GQ=QC từ 1,2 và 3 suy ra GM=GP và GN=GQ

xét tứ giác PQMN có GM=GP và GN=GQ

do đó tứ giác PQMN có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành.

vì ABCD là hình bình hành nên ta có:hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại Ở nên OA=OC,OB=OD

AB//CD nên AM=CN suy ra OAM=OCN

xét OAM và OCN,OAM=OCN chứng minh

OA=OC

AOM=CON do đó OAM=OCN

suy ra AM=CN

mặt khác AB//CD

AB=AM+BM;CD=CN+DN

suy ra BM=DN

xét tứ giác MNBD có :

BM//DN

BM=DN

do đó tứ giác MNBD là hình bình hành

vì ABCD là hình bình hành nên ta có:hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại Ở nên OA=OC,OB=OD

AB//CD nên AM=CN suy ra OAM=OCN

xét OAM và OCN,OAM=OCN chứng minh

OA=OC

AOM=CON do đó OAM=OCN

suy ra AM=CN

mặt khác AB//CD

AB=AM+BM;CD=CN+DN

suy ra BM=DN

xét tứ giác MNBD có :

BM//DN

BM=DN

do đó tứ giác MNBD là hình bình hành

Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD.Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE =BE//AB,CF//DF//CD.Do đó AE = BE = CF = DF.

Xét tứ giác AEFD có:AE // DF (vì AB // CD);AE = DF.Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Xét tứ giác AECF có:AE // CF (vì AB // CD);AE = CF.Do đó tứ giác AECF là hình bình hành.Vậy hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành.

b,Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD.

Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC.

Vậy EF = AD, AF = EC.