Phạm Thùy Dung
Giới thiệu về bản thân
A,
Qua M kẻ MN // BD. Trong ΔAMN, có I là trung điểm của AM, ID∥MN⇒AD=DN. Trong ΔBCD, có M là trung điểm của BC, MN∥BD⇒ND=NC. ⇒AD=DN=NC⇒AD=1/2DC
B:
- Trong ΔAME: ID là đường trung bình ⇒ID=21ME.
- Trong ΔBDC: ME là đường trung bình ⇒ME=21BD.
- Suy ra: ID=21⋅(21BD)=41BD.
- Kết luận: BD=4ID (hay BD gấp 4 lần ID).
A,
Qua M kẻ MN // BD. Trong ΔAMN, có I là trung điểm của AM, ID∥MN⇒AD=DN. Trong ΔBCD, có M là trung điểm của BC, MN∥BD⇒ND=NC. ⇒AD=DN=NC⇒AD=1/2DC
B:
- Trong ΔAME: ID là đường trung bình ⇒ID=21ME.
- Trong ΔBDC: ME là đường trung bình ⇒ME=21BD.
- Suy ra: ID=21⋅(21BD)=41BD.
- Kết luận: BD=4ID (hay BD gấp 4 lần ID).
A,
Qua M kẻ MN // BD. Trong ΔAMN, có I là trung điểm của AM, ID∥MN⇒AD=DN. Trong ΔBCD, có M là trung điểm của BC, MN∥BD⇒ND=NC. ⇒AD=DN=NC⇒AD=1/2DC
B:
- Trong ΔAME: ID là đường trung bình ⇒ID=21ME.
- Trong ΔBDC: ME là đường trung bình ⇒ME=21BD.
- Suy ra: ID=21⋅(21BD)=41BD.
- Kết luận: BD=4ID (hay BD gấp 4 lần ID).
A,
Qua M kẻ MN // BD. Trong ΔAMN, có I là trung điểm của AM, ID∥MN⇒AD=DN. Trong ΔBCD, có M là trung điểm của BC, MN∥BD⇒ND=NC. ⇒AD=DN=NC⇒AD=1/2DC
B:
- Trong ΔAME: ID là đường trung bình ⇒ID=21ME.
- Trong ΔBDC: ME là đường trung bình ⇒ME=21BD.
- Suy ra: ID=21⋅(21BD)=41BD.
- Kết luận: BD=4ID (hay BD gấp 4 lần ID).
Xét tam giác ABC có BC vuông góc với ab' và b'c' vuông góc với AB
Suy ra BC//B'C'
ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ THALES TA CÓ
AB/AB'=BC/B'C'
Suy ra x/x + h = a/a'
Suy ra a'x = a ×( a + h)
Suy ra a'x - ax = h
Suy ra x ×(a'- a)=ah
Suy ra x = ab / a' - a(điều phải chứng minh)
Xét tam giác ABC có BC vuông góc với ab' và b'c' vuông góc với AB
Suy ra BC//B'C'
ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ THALES TA CÓ
AB/AB'=BC/B'C'
Suy ra x/x + h = a/a'
Suy ra a'x = a ×( a + h)
Suy ra a'x - ax = h
Suy ra x ×(a'- a)=ah
Suy ra x = ab / a' - a(điều phải chứng minh)
Xét tam giác ABC có BC vuông góc với ab' và b'c' vuông góc với AB
Suy ra BC//B'C'
ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ THALES TA CÓ
AB/AB'=BC/B'C'
Suy ra x/x + h = a/a'
Suy ra a'x = a ×( a + h)
Suy ra a'x - ax = h
Suy ra x ×(a'- a)=ah
Suy ra x = ab / a' - a(điều phải chứng minh)
Xét tam giác ABC có BC vuông góc với ab' và b'c' vuông góc với AB
Suy ra BC//B'C'
ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ THALES TA CÓ
AB/AB'=BC/B'C'
Suy ra x/x + h = a/a'
Suy ra a'x = a ×( a + h)
Suy ra a'x - ax = h
Suy ra x ×(a'- a)=ah
Suy ra x = ab / a' - a(điều phải chứng minh)
Xét tam giác ABC có BC vuông góc với ab' và b'c' vuông góc với AB
Suy ra BC//B'C'
ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ THALES TA CÓ
AB/AB'=BC/B'C'
Suy ra x/x + h = a/a'
Suy ra a'x = a ×( a + h)
Suy ra a'x - ax = h
Suy ra x ×(a'- a)=ah
Suy ra x = ab / a' - a(điều phải chứng minh)
PHẦN A: Chứng minh MCDN là hình thoi
Ta cần chứng minh:
Tứ giác MCDN là hình thoi ⟺
- Có 4 cạnh bằng nhau
- Hoặc là hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc
- Hoặc là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau
Phân tích:
- ABCD là hình bình hành ⇒ BC // AD và AB // CD
- M là trung điểm của BC
- N là trung điểm của AD
Ta sẽ xét vector:
- MC là trung điểm nối đến đầu đoạn BC
- DN là trung điểm nối đến đầu đoạn AD
Xét vectơ MC và vectơ DN:
- MC là vector từ M đến C ⇒ MC = ½ DC
- DN là vector từ D đến N ⇒ DN = ½ DC (vì N là trung điểm AD)
⇒ MC = DN
Tương tự:
- MD nối từ M (trung điểm BC) đến D
- CN nối từ C đến N (trung điểm AD)
⇒ MD = CN
⇒ Các cạnh MC, CD, DN, NM đều bằng nhau ⇒ MCDN là hình thoi
✅ Kết luận a): MCDN là hình thoi
PHẦN B: Chứng minh ABMD là hình thang cân và AM = BD
1. Chứng minh ABMD là hình thang
Xét tứ giác ABMD
- AB và MD: cần chứng minh song song
Từ đề bài:
- ABCD là hình bình hành ⇒ AB // CD
- M là trung điểm BC ⇒ đường thẳng MD nối M và D sẽ // AB (do tính chất trung điểm trong hình bình hành)
⇒ AB // MD
⟹ ABMD là hình thang
2. Chứng minh ABMD cân
Ta cần chứng minh: AM = BD
Tính độ dài các đoạn
- Gọi AB = a, AD = 2a, ∠BAD = 60°
- Vì AD = 2AB = 2a, ∠BAD = 60°, dùng định lý cosin trong tam giác ABD để tính BD
Tính BD:
Trong tam giác ABD, ta có:
\(B D^{2} = A B^{2} + A D^{2} - 2 A B \cdot A D \cdot cos \left(\right. \angle B A D \left.\right) = a^{2} + \left(\right. 2 a \left.\right)^{2} - 2 a \cdot 2 a \cdot cos \left(\right. 60^{\circ} \left.\right)\)\(= a^{2} + 4 a^{2} - 4 a^{2} \cdot \frac{1}{2} = 5 a^{2} - 2 a^{2} = 3 a^{2} \Rightarrow B D = \sqrt{3} a\)Tính AM:
- M là trung điểm BC, nên tọa độ dễ xác định nếu ta giả sử tọa độ
Giả sử gán hệ tọa độ:
- Gọi A tại gốc tọa độ A(0,0)
- AB nằm ngang ⇒ B(a, 0)
- Vì ∠BAD = 60°, AD tạo với AB góc 60°
- AD = 2a ⇒ D có tọa độ: D(2a·cos(60°), 2a·sin(60°)) = (a, a√3)
⇒ C = B + vector AD ⇒ C = (a, 0) + (a, √3a) = (2a, √3a)
⇒ M là trung điểm BC = trung điểm ((a,0), (2a, √3a))
\(M = \left(\right. \frac{a + 2 a}{2} , \frac{0 + \sqrt{3} a}{2} \left.\right) = \left(\right. \frac{3 a}{2} , \frac{\sqrt{3} a}{2} \left.\right)\)AM = đoạn nối từ A(0,0) đến M:
\(A M = \sqrt{\left(\left(\right. \frac{3 a}{2} \left.\right)\right)^{2} + \left(\left(\right. \frac{\sqrt{3} a}{2} \left.\right)\right)^{2}} = \sqrt{\frac{9 a^{2}}{4} + \frac{3 a^{2}}{4}} = \sqrt{\frac{12 a^{2}}{4}} = \sqrt{3 a^{2}} = \sqrt{3} a\)⇒ AM = BD
✅ Kết luận b):
- ABMD là hình thang (do AB // MD)
- ABMD cân vì AM = BD = √3a
PHẦN C: Giao điểm của AM, DB, KN
Cách làm: Dùng tọa độ, tìm phương trình 3 đường thẳng rồi chứng minh chúng cắt nhau tại 1 điểm.
Từ tọa độ ở phần trước:
- A(0, 0), B(a, 0), D(a, √3a), C(2a, √3a)
- M = trung điểm BC = (3a/2, √3a/2)
- N = trung điểm AD = ((0 + a)/2, (0 + √3a)/2) = (a/2, √3a/2)
Tính phương trình:
- Đường AM:
Qua A(0,0) và M(3a/2, √3a/2)
⇒ vector AM: (3a/2, √3a/2)
Phương trình:
\(\frac{x}{3 a / 2} = \frac{y}{\sqrt{3} a / 2} \Rightarrow \frac{2 x}{3 a} = \frac{2 y}{\sqrt{3} a} \Rightarrow \frac{x}{3} = \frac{y}{\sqrt{3}} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{3}}{3} x\)- Đường DB:
D(a, √3a), B(a, 0)
→ dọc thẳng đứng x = a
- Đường KN:
- DM cắt AB tại K ⇒ tìm tọa độ giao điểm K của đường thẳng DM với AB
- D(a, √3a), M(3a/2, √3a/2)
Tìm phương trình đường DM:
Vector: M – D = (3a/2 – a, √3a/2 – √3a) = (a/2, –√3a/2)
→ Phương trình:
\(x = a + \frac{a}{2} t , y = \sqrt{3} a - \frac{\sqrt{3} a}{2} t\)Giao điểm với AB: y = 0 (trục nằm ngang)
Giải:
\(\sqrt{3} a - \frac{\sqrt{3} a}{2} t = 0 \Rightarrow t = 2 \Rightarrow x = a + a = 2 a \Rightarrow K \left(\right. 2 a , 0 \left.\right)\)N đã có tọa độ (a/2, √3a/2)
→ KN nối (2a, 0) và (a/2, √3a/2)
Tìm phương trình:
Vector: (–3a/2, √3a/2)
⇒
\(\frac{x - 2 a}{- 3 a / 2} = \frac{y}{\sqrt{3} a / 2} \Rightarrow \frac{x - 2 a}{- 3} = \frac{y}{\sqrt{3}} \Rightarrow y = - \frac{\sqrt{3}}{3} \left(\right. x - 2 a \left.\right)\)So sánh với phương trình AM: y = (√3/3)x
⇒ Hai đường AM và KN cắt nhau tại:
\(\frac{\sqrt{3}}{3} x = - \frac{\sqrt{3}}{3} \left(\right. x - 2 a \left.\right) \Rightarrow x = a , y = \frac{\sqrt{3}}{3} a\)⇒ Giao điểm tại điểm (a, √3a/3)
→ Điểm này nằm trên đường thẳng DB (x = a) ⇒ đồng quy