Ta có: \(\text{v}_{0} = 5.1 0^{5}\) m/s; \(\text{v} = 5 , 4.1 0^{5}\) m/s; \(a = 8.1 0^{4}\) m/s²

Thời gian electron bay được trong khi được gia tốc là:

\(t = \frac{\text{v} - \text{v}_{0}}{a} = \frac{5 , 4.1 0^{5} - 5.1 0^{5}}{8.1 0^{4}} = 0 , 5 s\)

Quãng đường electron bay được trong khi được gia tốc là:

\(s = \frac{\text{v}^{2} - \text{v}_{0}^{2}}{2 a} = \frac{\left(\left(\right. 5 , 4.1 0^{5} \left.\right)\right)^{2} - \left(\left(\right. 5.1 0^{5} \left.\right)\right)^{2}}{2.8.1 0^{4}} = 26.1 0^{4} m\)

Ta có: \(\text{v}_{0} = 5.1 0^{5}\) m/s; \(\text{v} = 5 , 4.1 0^{5}\) m/s; \(a = 8.1 0^{4}\) m/s²

Thời gian electron bay được trong khi được gia tốc là:

\(t = \frac{\text{v} - \text{v}_{0}}{a} = \frac{5 , 4.1 0^{5} - 5.1 0^{5}}{8.1 0^{4}} = 0 , 5 s\)

Quãng đường electron bay được trong khi được gia tốc là:

\(s = \frac{\text{v}^{2} - \text{v}_{0}^{2}}{2 a} = \frac{\left(\left(\right. 5 , 4.1 0^{5} \left.\right)\right)^{2} - \left(\left(\right. 5.1 0^{5} \left.\right)\right)^{2}}{2.8.1 0^{4}} = 26.1 0^{4} m\)

Ta có: \(\alpha \overset{\rightarrow}{I A} + \beta \overset{\rightarrow}{I B} = \overset{\rightarrow}{0} \Leftrightarrow \alpha \overset{\rightarrow}{I A} + \beta \left(\right. \overset{\rightarrow}{I A} + \overset{\rightarrow}{A B} \left.\right) = \overset{\rightarrow}{0}\)
\(\Leftrightarrow \left(\right. \alpha + \beta \left.\right) \overset{\rightarrow}{I A} + \beta \overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{0} . \Leftrightarrow \left(\right. \alpha + \beta \left.\right) \overset{\rightarrow}{A I} = \beta \overset{\rightarrow}{A B} \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{A I} = \frac{\beta}{\alpha + \beta} \overset{\rightarrow}{A B}\)
Vì A, B cố định nên vectơ \(\frac{\beta}{\alpha + \beta} \overset{\rightarrow}{A B}\) không đổi, do đó tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn điều kiện.
Từ đó suy ra
\(& \alpha \overset{\rightarrow}{M A} + \beta \overset{\rightarrow}{M B} = \alpha \left(\right. \overset{\rightarrow}{M I} + \overset{\rightarrow}{I A} \left.\right) + \beta \left(\right. \overset{\rightarrow}{M I} + \overset{\rightarrow}{I B} \left.\right) \\ & = \left(\right. \alpha + \beta \left.\right) \overset{\rightarrow}{M I} + \left(\right. \alpha \overset{\rightarrow}{I A} + \beta \overset{\rightarrow}{I B} \left.\right) = \left(\right. \alpha + \beta \left.\right) \overset{\rightarrow}{M I} . \&\text{nbsp};\)

a) Gọi I là trung điểm \(B C\) suy ra \(\overset{\rightarrow}{M B} + \overset{\rightarrow}{M C} = 2 \overset{\rightarrow}{M I}\)
Do đó \(2 \overset{\rightarrow}{M A} + \overset{\rightarrow}{M B} + \overset{\rightarrow}{M C} = \overset{\rightarrow}{0}\)
\(2 \overset{\rightarrow}{M A} + 2 \overset{\rightarrow}{M I} = \overset{\rightarrow}{0} \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{M A} + \overset{\rightarrow}{M I} = \overset{\rightarrow}{0}\)
Suy ra \(M\) là trung điểm \(A I\)
b) Gọi \(K , H\) lần lượt là trung điểm của \(A B , C D\) ta có
\(\overset{\rightarrow}{N A} + \overset{\rightarrow}{N B} + \overset{\rightarrow}{N C} + \overset{\rightarrow}{N D} = \overset{\rightarrow}{0} \Leftrightarrow 2 \overset{\rightarrow}{N K} + 2 \overset{\rightarrow}{N H} = \overset{\rightarrow}{0}\)
\(\Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{N K} + \overset{\rightarrow}{N H} = \overset{\rightarrow}{0} \Leftrightarrow N\) là trung điểm của \(K H\)
c) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(B C D\) khi đó ta có \(\overset{\rightarrow}{P B} + \overset{\rightarrow}{P C} + \overset{\rightarrow}{P D} = 3 \overset{\rightarrow}{P G}\)
Suy ra \(3 \overset{\rightarrow}{P A} + \overset{\rightarrow}{P B} + \overset{\rightarrow}{P C} + \overset{\rightarrow}{P D} = \overset{\rightarrow}{0} \Leftrightarrow 3 \overset{\rightarrow}{P A} + 3 \overset{\rightarrow}{P G} = \overset{\rightarrow}{0}\)
\(\Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{P A} + \overset{\rightarrow}{P G} = \overset{\rightarrow}{0} \Leftrightarrow P\) là trung điểm \(A G\).

Ta coˊ 2MA−3MB=0⇔2MA−3(MA+AB)=0⇔AM=3AB​
\(M\) nằm trên tia \(A B\) và \(A M = 3 A B\).

a) Hāy phân tích véctơ \(\overset{\rightarrow}{A G}\) theo hai vectơ \(\overset{\rightarrow}{A B} , \overset{\rightarrow}{A C}\).
\(A G \cap B C = M \Rightarrow M\) là trung điểm \(B C \Rightarrow \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{A C} = 2 \overset{\rightarrow}{A M}\).
Mà \(G\) là trọng tâm \(\triangle A B C \Rightarrow \overset{\rightarrow}{A G} = \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{A M} \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{A M} = \frac{3}{2} \overset{\rightarrow}{A G}\).
\(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{A C} = 2 \overset{\rightarrow}{A M} = 2 \cdot \frac{3}{2} \overset{\rightarrow}{A G} = 3 \overset{\rightarrow}{A G} \Rightarrow \overset{\rightarrow}{A G} = \frac{1}{3} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{1}{3} \overset{\rightarrow}{A C}\)
b) Gọi \(E , F\) là hai điểm xác định bởi các điều kiện: \(\overset{\rightarrow}{E A} = 2 \overset{\rightarrow}{E B} , 3 \overset{\rightarrow}{F A} + 2 \overset{\rightarrow}{F C} = \overset{\rightarrow}{0}\). Hāy phân tích \(\overset{\rightarrow}{E F}\) theo hai vecto \(\overset{\rightarrow}{A B} , \overset{\rightarrow}{A C}\).
Ta có: \(\overset{\rightarrow}{E F} = \overset{\rightarrow}{E A} + \overset{\rightarrow}{A F}\).
Theo gt: \(\overset{\rightarrow}{E A} = 2 \overset{\rightarrow}{E B} \Rightarrow \overset{\rightarrow}{E A} = 2 \overset{\rightarrow}{A B}\)
Từ \(3 \overset{\rightarrow}{F A} + 2 \overset{\rightarrow}{F C} = \overset{\rightarrow}{0} \Rightarrow \overset{\rightarrow}{A F} = \frac{2}{5} \overset{\rightarrow}{A C}\).
\(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{E F} = \overset{\rightarrow}{E A} + \overset{\rightarrow}{A F} = 2 \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{2}{5} \overset{\rightarrow}{A C}\)

Ta có: \(E , F\) lần lượt là trung điểm của \(C A , A B \Rightarrow E F\) là đường trung bình của \(\triangle A B C \Rightarrow E F / / B C\) \(\Rightarrow \frac{I E}{C D} = \frac{A I}{A D} = \frac{I F}{B D} \Rightarrow I F = I E \Rightarrow 2 \overset{\rightarrow}{A I} = \overset{\rightarrow}{A F} + \overset{\rightarrow}{A E} \Rightarrow \overset{\rightarrow}{A I} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{⃗}{u} + \overset{⃗}{v} \left.\right)\). \(G\) là trọng tâm tam giác \(A B C ; D , E , F\) lần lượt là trung điểm của \(B C , C A A B\) \(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{A G} = \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{A D} = \frac{1}{3} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{A C} \left.\right) = \frac{1}{3} \left(\right. 2 \overset{\rightarrow}{A F} + 2 \overset{\rightarrow}{A E} \left.\right) = \frac{2}{3} \left(\right. \overset{⃗}{u} + \overset{⃗}{v} \left.\right) .\) \(D E\) là đường trung bình của \(\triangle A B C \Rightarrow D E = \frac{1}{2} A B = A F \Rightarrow \overset{\rightarrow}{D E} = - \overset{\rightarrow}{A F} = - \overset{⃗}{v}\). \(E F\) là đường trung bình của \(\triangle A B C \Rightarrow E F = C D \Rightarrow \overset{\rightarrow}{D C} = \overset{\rightarrow}{F E} = \overset{\rightarrow}{A E} - \overset{\rightarrow}{A F} = \overset{⃗}{u} - \overset{⃗}{v}\).

Ta có: \(M , K\) lần lượt là trung điểm của \(A B , M N\) nên \(\overset{\rightarrow}{A M} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B}\) và \(2 \overset{\rightarrow}{A K} = \overset{\rightarrow}{A M} + \overset{\rightarrow}{A N}\).
Mạat khác: \(N\) thuộc cạnh \(A C\) và \(N A = 2 N C \Rightarrow \overset{\rightarrow}{A N} = \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{A C}\).
Suy ra \(\overset{\rightarrow}{A K} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A M} + \overset{\rightarrow}{A N} \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{A C} \left.\right) = \frac{1}{4} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{1}{3} \overset{\rightarrow}{A C}\)

Ta có: \(M , K\) lần lượt là trung điểm của \(A B , M N\) nên \(\overset{\rightarrow}{A M} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B}\) và \(2 \overset{\rightarrow}{A K} = \overset{\rightarrow}{A M} + \overset{\rightarrow}{A N}\).
Mạat khác: \(N\) thuộc cạnh \(A C\) và \(N A = 2 N C \Rightarrow \overset{\rightarrow}{A N} = \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{A C}\).
Suy ra \(\overset{\rightarrow}{A K} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A M} + \overset{\rightarrow}{A N} \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{A C} \left.\right) = \frac{1}{4} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{1}{3} \overset{\rightarrow}{A C}\).