Ta có: \(E , F\) lần lượt là trung điểm của \(C A , A B \Rightarrow E F\) là đường trung bình của \(\triangle A B C \Rightarrow E F / / B C\) \(\Rightarrow \frac{I E}{C D} = \frac{A I}{A D} = \frac{I F}{B D} \Rightarrow I F = I E \Rightarrow 2 \overset{\rightarrow}{A I} = \overset{\rightarrow}{A F} + \overset{\rightarrow}{A E} \Rightarrow \overset{\rightarrow}{A I} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{⃗}{u} + \overset{⃗}{v} \left.\right)\). \(G\) là trọng tâm tam giác \(A B C ; D , E , F\) lần lượt là trung điểm của \(B C , C A A B\) \(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{A G} = \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{A D} = \frac{1}{3} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{A C} \left.\right) = \frac{1}{3} \left(\right. 2 \overset{\rightarrow}{A F} + 2 \overset{\rightarrow}{A E} \left.\right) = \frac{2}{3} \left(\right. \overset{⃗}{u} + \overset{⃗}{v} \left.\right) .\) \(D E\) là đường trung bình của \(\triangle A B C \Rightarrow D E = \frac{1}{2} A B = A F \Rightarrow \overset{\rightarrow}{D E} = - \overset{\rightarrow}{A F} = - \overset{⃗}{v}\). \(E F\) là đường trung bình của \(\triangle A B C \Rightarrow E F = C D \Rightarrow \overset{\rightarrow}{D C} = \overset{\rightarrow}{F E} = \overset{\rightarrow}{A E} - \overset{\rightarrow}{A F} = \overset{⃗}{u} - \overset{⃗}{v}\).

kết quả

Ta có: \(M , K\) lần lượt là trung điểm của \(A B , M N\) nên \(\overset{\rightarrow}{A M} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B}\) và \(2 \overset{\rightarrow}{A K} = \overset{\rightarrow}{A M} + \overset{\rightarrow}{A N}\).
Mạat khác: \(N\) thuộc cạnh \(A C\) và \(N A = 2 N C \Rightarrow \overset{\rightarrow}{A N} = \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{A C}\).
Suy ra \(\overset{\rightarrow}{A K} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A M} + \overset{\rightarrow}{A N} \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{A C} \left.\right) = \frac{1}{4} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{1}{3} \overset{\rightarrow}{A C}\).

kết quả

\(\overrightarrow{AI}=\frac49\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)\)

\(\overrightarrow{AG}=\frac23\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)\)

\(\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\)

\(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\)

- Ta có: \(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{G B} - \overset{\rightarrow}{G A} = \overset{⃗}{b} - \overset{⃗}{a}\).
- Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(A B C\) nên \(\overset{\rightarrow}{G A} + \overset{\rightarrow}{G B} + \overset{\rightarrow}{G C} = \overset{\rightarrow}{0} \Rightarrow \overset{\rightarrow}{G C} = - \overset{\rightarrow}{G A} - \overset{\rightarrow}{G B} = - \overset{⃗}{a} - \overset{⃗}{b}\).
- Ta có: \(\overset{\rightarrow}{B C} = \overset{\rightarrow}{B G} + \overset{\rightarrow}{G C} = - \overset{⃗}{b} + \left(\right. - \overset{⃗}{a} - \overset{⃗}{b} \left.\right) = - \overset{⃗}{a} - 2 \overset{⃗}{b}\).
- Ta có: \(\overset{\rightarrow}{C A} = \overset{\rightarrow}{G A} - \overset{\rightarrow}{G C} = \overset{⃗}{a} - \left(\right. - \overset{⃗}{a} - \overset{⃗}{b} \left.\right) = 2 \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b}\).