Chọn mốc thế năng tại mặt đất. Theo định luật bảo toàn cơ năng ta có:

\(W = W_{đ} + W_{t} = \frac{3}{2} W_{t} + W_{t} = \frac{5}{2} W_{t}\)

\(\Rightarrow W = \frac{5}{2} . m g h\)

\(\Rightarrow m = \frac{2 W}{5 g h} = \frac{2.37 , 5}{5.10.3} = 0 , 5\) kg

Ta có: \(W_{đ} = \frac{3}{2} W_{t} \Rightarrow \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{3}{2} m g h\)

\(\Rightarrow v = \sqrt{3 g h} = \sqrt{3.10.3} = 9 , 49\) m/s

m = 2 tấn = 2000 kg

\(v_{1}\) = 21,6 km/h = 6 m/s

Gia tốc của xe là: \(a = \frac{v_{1} - v_{0}}{t} = \frac{6 - 0}{15} = 0 , 4\) m/s²

Quãng đường mà xe di chuyển được là: \(s = \frac{1}{2} a t^{2} = \frac{1}{2} . 0 , 4.1 5^{2} = 45\) m

a. Ma sát giữa bánh xe và đường nhỏ không đáng kể.

Lực kéo của động cơ xe là: \(F_{k} = m a = 2000.0 , 4 = 800\) N

Công mà động cơ thực hiện là: \(A = F_{k} . s = 800.45 = 36000\) J

Công suất của động cơ là: \(P = \frac{A}{t} = \frac{36000}{15} = 2400\) W

b. Ma sát giữa bánh xe và đường là 0,05.

Hợp lực tác dụng lên xe là: \(F_{h l} = m a = 2000.0 , 4 = 800\) N

Lực ma sát: \(F_{m s} = \mu . N = \mu m g = 0 , 05.2000.10 = 1000\) N

Ta có: \(F_{h l} = F_{k} - F_{m s}\)

Vậy lực kéo của động cơ là: \(F_{k} = F_{h l} + F_{m s} = 800 + 1000 = 1800\) N

Công mà động cơ thực hiện là: \(A = F_{k} . s = 1800.45 = 81000\) J

Công suất của động cơ là: \(P = \frac{A}{t} = \frac{81000}{15} = 5400\) W

Ta có: \(\text{v}_{0} = 5.1 0^{5}\) m/s; \(\text{v} = 5 , 4.1 0^{5}\) m/s; \(a = 8.1 0^{4}\) m/s²

Thời gian electron bay được trong khi được gia tốc là:

\(t = \frac{\text{v} - \text{v}_{0}}{a} = \frac{5 , 4.1 0^{5} - 5.1 0^{5}}{8.1 0^{4}} = 0 , 5 s\)

Quãng đường electron bay được trong khi được gia tốc là:

\(s = \frac{\text{v}^{2} - \text{v}_{0}^{2}}{2 a} = \frac{\left(\left(\right. 5 , 4.1 0^{5} \left.\right)\right)^{2} - \left(\left(\right. 5.1 0^{5} \left.\right)\right)^{2}}{2.8.1 0^{4}} = 26.1 0^{4} m\)

a. Độ cao của nơi thả viên bi so với mặt đất là:

\(h = \frac{1}{2} g t^{2} = \frac{1}{2} . 9 , 8. 3^{2} = 44 , 1\) m

b. Vận tốc lúc chạm đất là:

\(\text{v} = g t = 9 , 8.3 = 29 , 4\) m/s

c. Quãng đường vật rơi trong 2,5 s đầu là:

\(s_{1} = \frac{1}{2} g t_{1}^{2} = \frac{1}{2} . 9 , 8.2 , 5^{2} = 30 , 625\) m

Quãng đường vật rơi trong 0,5 s cuối là:

\(s = h - s_{1} = 44 , 1 - 30 , 625 = 13 , 475\) m

Ta có: \(\alpha \overset{\rightarrow}{I A} + \beta \overset{\rightarrow}{I B} = \overset{\rightarrow}{0} \Leftrightarrow \alpha \overset{\rightarrow}{I A} + \beta \left(\right. \overset{\rightarrow}{I A} + \overset{\rightarrow}{A B} \left.\right) = \overset{\rightarrow}{0}\)
\(\Leftrightarrow \left(\right. \alpha + \beta \left.\right) \overset{\rightarrow}{I A} + \beta \overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{0} . \Leftrightarrow \left(\right. \alpha + \beta \left.\right) \overset{\rightarrow}{A I} = \beta \overset{\rightarrow}{A B} \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{A I} = \frac{\beta}{\alpha + \beta} \overset{\rightarrow}{A B}\)
Vì A, B cố định nên vectơ \(\frac{\beta}{\alpha + \beta} \overset{\rightarrow}{A B}\) không đổi, do đó tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn điều kiện.
Từ đó suy ra
\(& \alpha \overset{\rightarrow}{M A} + \beta \overset{\rightarrow}{M B} = \alpha \left(\right. \overset{\rightarrow}{M I} + \overset{\rightarrow}{I A} \left.\right) + \beta \left(\right. \overset{\rightarrow}{M I} + \overset{\rightarrow}{I B} \left.\right) \\ & = \left(\right. \alpha + \beta \left.\right) \overset{\rightarrow}{M I} + \left(\right. \alpha \overset{\rightarrow}{I A} + \beta \overset{\rightarrow}{I B} \left.\right) = \left(\right. \alpha + \beta \left.\right) \overset{\rightarrow}{M I} . \&\text{nbsp};\)

a) Gọi I là trung điểm \(B C\) suy ra \(\overset{\rightarrow}{M B} + \overset{\rightarrow}{M C} = 2 \overset{\rightarrow}{M I}\)
Do đó \(2 \overset{\rightarrow}{M A} + \overset{\rightarrow}{M B} + \overset{\rightarrow}{M C} = \overset{\rightarrow}{0}\)
\(2 \overset{\rightarrow}{M A} + 2 \overset{\rightarrow}{M I} = \overset{\rightarrow}{0} \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{M A} + \overset{\rightarrow}{M I} = \overset{\rightarrow}{0}\)
Suy ra \(M\) là trung điểm \(A I\)
b) Gọi \(K , H\) lần lượt là trung điểm của \(A B , C D\) ta có
\(\overset{\rightarrow}{N A} + \overset{\rightarrow}{N B} + \overset{\rightarrow}{N C} + \overset{\rightarrow}{N D} = \overset{\rightarrow}{0} \Leftrightarrow 2 \overset{\rightarrow}{N K} + 2 \overset{\rightarrow}{N H} = \overset{\rightarrow}{0}\)
\(\Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{N K} + \overset{\rightarrow}{N H} = \overset{\rightarrow}{0} \Leftrightarrow N\) là trung điểm của \(K H\)
c) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(B C D\) khi đó ta có \(\overset{\rightarrow}{P B} + \overset{\rightarrow}{P C} + \overset{\rightarrow}{P D} = 3 \overset{\rightarrow}{P G}\)
Suy ra \(3 \overset{\rightarrow}{P A} + \overset{\rightarrow}{P B} + \overset{\rightarrow}{P C} + \overset{\rightarrow}{P D} = \overset{\rightarrow}{0} \Leftrightarrow 3 \overset{\rightarrow}{P A} + 3 \overset{\rightarrow}{P G} = \overset{\rightarrow}{0}\)
\(\Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{P A} + \overset{\rightarrow}{P G} = \overset{\rightarrow}{0} \Leftrightarrow P\) là trung điểm \(A G\).

a) Hāy phân tích véctơ \(\overset{\rightarrow}{A G}\) theo hai vectơ \(\overset{\rightarrow}{A B} , \overset{\rightarrow}{A C}\).
\(A G \cap B C = M \Rightarrow M\) là trung điểm \(B C \Rightarrow \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{A C} = 2 \overset{\rightarrow}{A M}\).
Mà \(G\) là trọng tâm \(\triangle A B C \Rightarrow \overset{\rightarrow}{A G} = \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{A M} \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{A M} = \frac{3}{2} \overset{\rightarrow}{A G}\).
\(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{A C} = 2 \overset{\rightarrow}{A M} = 2 \cdot \frac{3}{2} \overset{\rightarrow}{A G} = 3 \overset{\rightarrow}{A G} \Rightarrow \overset{\rightarrow}{A G} = \frac{1}{3} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{1}{3} \overset{\rightarrow}{A C}\)
b) Gọi \(E , F\) là hai điểm xác định bởi các điều kiện: \(\overset{\rightarrow}{E A} = 2 \overset{\rightarrow}{E B} , 3 \overset{\rightarrow}{F A} + 2 \overset{\rightarrow}{F C} = \overset{\rightarrow}{0}\). Hāy phân tích \(\overset{\rightarrow}{E F}\) theo hai vecto \(\overset{\rightarrow}{A B} , \overset{\rightarrow}{A C}\).
Ta có: \(\overset{\rightarrow}{E F} = \overset{\rightarrow}{E A} + \overset{\rightarrow}{A F}\).
Theo gt: \(\overset{\rightarrow}{E A} = 2 \overset{\rightarrow}{E B} \Rightarrow \overset{\rightarrow}{E A} = 2 \overset{\rightarrow}{A B}\)
Từ \(3 \overset{\rightarrow}{F A} + 2 \overset{\rightarrow}{F C} = \overset{\rightarrow}{0} \Rightarrow \overset{\rightarrow}{A F} = \frac{2}{5} \overset{\rightarrow}{A C}\).
\(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{E F} = \overset{\rightarrow}{E A} + \overset{\rightarrow}{A F} = 2 \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{2}{5} \overset{\rightarrow}{A C}\)

Ta có: \(M , K\) lần lượt là trung điểm của \(A B , M N\) nên \(\overset{\rightarrow}{A M} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B}\) và \(2 \overset{\rightarrow}{A K} = \overset{\rightarrow}{A M} + \overset{\rightarrow}{A N}\).
Mạat khác: \(N\) thuộc cạnh \(A C\) và \(N A = 2 N C \Rightarrow \overset{\rightarrow}{A N} = \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{A C}\).
Suy ra \(\overset{\rightarrow}{A K} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A M} + \overset{\rightarrow}{A N} \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{A C} \left.\right) = \frac{1}{4} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{1}{3} \overset{\rightarrow}{A C}\).

a) Phân tích vectơ \(\overset{\rightarrow}{A D}\) theo hai vectơ \(\overset{\rightarrow}{A B}\) và \(\overset{\rightarrow}{A F}\).
Ta có: \(O\) là trung điểm \(A D\) nên \(\overset{\rightarrow}{A D} = 2 \overset{\rightarrow}{A O}\).
Lại có: \(\left{\right. A B / / F O \\ A F / / B O \Rightarrow A B O F\) là hình bình hành \(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{A D} = 2 \overset{\rightarrow}{A O} = 2 \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{A F} \left.\right) = 2 \overset{\rightarrow}{A B} + 2 \overset{\rightarrow}{A F}\).
b) Tính độ dài của vecto \(\frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C}\) theo \(a\).
Ta có: \(\frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{B C} \left.\right) = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A C}\).

Theo đề bài: \(A B C D E F\) là lục giác đều nên \(\triangle A B O ; \triangle C B O\) là tam giác đều cạnh \(a\).
Gọi \(M\) là trung điểm \(B O \Rightarrow A M ; M C\) lần lượt là đường cao \(\triangle A B O ; \triangle C B O\) và \(A C = A M + M C\) \(\Rightarrow A C = A M + M C = \frac{a \sqrt{3}}{2} + \frac{a \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3} \Rightarrow \mid \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C} \mid = \frac{1}{2} A C = \frac{a \sqrt{3}}{2}\)

a) Phân tích vectơ \(\overset{\rightarrow}{A D}\) theo hai vectơ \(\overset{\rightarrow}{A B}\) và \(\overset{\rightarrow}{A F}\).
Ta có: \(O\) là trung điểm \(A D\) nên \(\overset{\rightarrow}{A D} = 2 \overset{\rightarrow}{A O}\).
Lại có: \(\left{\right. A B / / F O \\ A F / / B O \Rightarrow A B O F\) là hình bình hành \(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{A D} = 2 \overset{\rightarrow}{A O} = 2 \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{A F} \left.\right) = 2 \overset{\rightarrow}{A B} + 2 \overset{\rightarrow}{A F}\).
b) Tính độ dài của vecto \(\frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C}\) theo \(a\).
Ta có: \(\frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{B C} \left.\right) = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A C}\).

Theo đề bài: \(A B C D E F\) là lục giác đều nên \(\triangle A B O ; \triangle C B O\) là tam giác đều cạnh \(a\).
Gọi \(M\) là trung điểm \(B O \Rightarrow A M ; M C\) lần lượt là đường cao \(\triangle A B O ; \triangle C B O\) và \(A C = A M + M C\) \(\Rightarrow A C = A M + M C = \frac{a \sqrt{3}}{2} + \frac{a \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3} \Rightarrow \mid \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C} \mid = \frac{1}{2} A C = \frac{a \sqrt{3}}{2}\)