Điểm I tồn tại duy nhất và có tọa độ:

\boxed{ \overrightarrow{I} = \frac{\alpha \overrightarrow{A} + \beta \overrightarrow{B}}{\alpha + \beta}. }

Với điểm M bất kỳ:

\boxed{ \alpha \overrightarrow{MA} + \beta \overrightarrow{MB} = (\alpha + \beta) \overrightarrow{MI}. }

a): M là trung điểm của đoạn thẳng nối A với trung điểm I của đoạn BC.

b): N là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm I của AC và trung điểm J của BD. (Điểm N này còn được gọi là trọng tâm của hệ 4 điểm có khối lượng bằng nhau).

c): P là điểm nằm trên đường thẳng AK sao cho \frac{PA}{PK} = 4 và K nằm giữa P và A, với K là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm I của AB và trung điểm J của CD.

Điểm M nằm trên đường thẳng AB sao cho M nằm ngoài đoạn AB và \frac{MA}{MB} = \frac{3}{2}. Cụ thể, B nằm giữa A và M.

Kết quả a):

\vec{AD} = 2\vec{AB} + 2\vec{AF}

Kết quả b):

Độ dài của vectơ là \frac{a\sqrt{3}}{2}.

a) AG⃗=13AB⃗+13AC⃗AG = 31AB + 31AC .

b) EF⃗=−2AB⃗+25AC⃗EF =−2 AB + 52AC

Cho tam giác ABC. G là trọng tâm. D, E, F là trung điểm BC, CA, AB. I là giao điểm AD và EF. Đặt \vec{u} = \vec{AE} và \vec{v} = \vec{AF}.

Ta có: \vec{AB} = 2\vec{v} và \vec{AC} = 2\vec{u}.

Phân tích các vectơ theo \vec{u} và \vec{v}:

\vec{AI}: I là trung điểm của AD.

\vec{AI} = \frac{1}{2} \vec{AD} = \frac{1}{2}(\vec{u} + \vec{v}) = \frac{1}{2}\vec{u} + \frac{1}{2}\vec{v}

\vec{AG}: G là trọng tâm.

\vec{AG} = \frac{1}{3}(\vec{AB} + \vec{AC}) = \frac{1}{3}(2\vec{v} + 2\vec{u}) = \frac{2}{3}\vec{u} + \frac{2}{3}\vec{v}

\vec{DE}:

\vec{DE} = -\vec{v}

\vec{DC}:

\vec{DC} = \vec{u} - \vec{v}

\vec{AK} = \frac{1}{4}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}

Xác định mối quan hệ tỉ lệ: \vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{AB} và \vec{AN} = \frac{2}{3} \vec{AC}.

Sử dụng tính chất trung điểm K: \vec{AK} = \frac{1}{2} (\vec{AM} + \vec{AN}).

Thay thế và rút gọn: \vec{AK} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \vec{AB} + \frac{2}{3} \vec{AC} \right) = \frac{1}{4} \vec{AB} + \frac{1}{3} \vec{AC}.

Điều kiện: MA = kMB (nghĩa là \vec{MA} = k\vec{MB}).

Kết quả chứng minh (Công thức điểm chia vector): Với mọi điểm O, ta có:

\vec{OM} = \frac{\vec{OA} - k\vec{OB}}{1 - k}

Ta có:

AB→=GB→−GA→=b⃗−a⃗AB→ =GB→ − GA→ = b⃗ − a⃗ .- Vì GG là trọng tâm của tam giác ABCABC nên GA→+GB→+GC→=0→⇒GC→=−GA→−GB→=−a⃗−b⃗GA→ + GB→+ GC→ = → ⇒ GC→ =− GA→ − GB→ =− a⃗ − b⃗ .- Ta có: BC→=BG→+GC→=−b⃗+(−a⃗−b⃗)=−a⃗−2b⃗BC→ = BG→ + GC→ =− b⃗ +(− a⃗ − b⃗ )=− a⃗ −2 b⃗ .- Ta có: CA→=GA→−G→=a⃗−(−a⃗−b⃗)=2a⃗+b⃗CA→ = GA→ − GC→= a⃗ −(− a⃗ − b⃗ )=2 a⃗ + b⃗ .