a , ABCD là hbh nên AB bằng CD sy ra 1/2 AB bằng 1/2 DC

D oa AM bằng BM bằng DN bằng CN

Tứ giác AMCN có AM // NC , AM bằng NC nên là hbh

Lại có tam giác ADC vug tại A có AN là đg tt nên AN bằng 1/2 DC bằng DN bằng CN

Hbh AMCN có hai cạnh bên bằng nhau nên là hình thoi , ki đó hai đg chéo AC , MN vug góc vơi nhau

Tứ giác AMCN là hình thoi

Ta có ABCD là hình thoi nên AC vg BD tai tđ của mỗi đg nên BD là tt của AC

Sya ra GA bằng GC , HA bằng HC / 1/

Và AC là tt của BD suy ra AG băng AH , CG bằng CH /2/

Từ 1,2 suy ra AG bằng GC bằng CH bằng HA nên AGCH là hình thoi

a, Do ABCD là hình bình hành nên AD // BC vs AD = BC

Do AD // BC nên ADB = CBD /SLT/

Xét tg ADH vs tg CBK có

AHD = CBK = 90^

AD = BC (cmt)

ADH = CBK ( do ADB = CBD )

Do đó tg ADH bằng tg CBK /ch -gn/

Suy ra AH bằng CK / hai cạnh tương ứng /

Ta có AH vg góc DB vs CK vg góc DB nên AH //CK

Tứ giác AHCK có AH//CK vs AH bằng CK nên AHCK là hbh / dấu hiệu nhận biết /

Do AHCK là hbh nên hai đg chéo AC vs HK cắt nhau tại trg điểm mỗi đg

Mà I là trg điểm của HK nên I cg là trg điểm của AC

Do ABCD là hbh nên hai đg chéo AC vs BD cắt nhau tại trg điểm mỗi đg

Mà I cg là tr điểm của AC nên I cg là trg điểm của BD hay IB bằng ID

a,ABCD là hbh nên AD \(\) = BC vs AD // BC

Nên E là trung điểm của AD nên AE= ED

F là trung điểm của BC nên BF = FC

SUY ra DE = BF

Xét tg EBFD có DE // BF( do AD // BC) vs DE = BF nen là hbh (dhnb)

b, Ta có O là giao điểm của hai đg chéo của hbh ABCD nên O là trug điểm của BD

Do EBFD là hbh nên hai đg chéo BD vs EF cắt nhau tại trung điểm mỗi đg

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF

Vây ba điểm E ,O,F thẳng hàng

\(\)

Xét tam giác ABC có hai đg trg tuyến BM vs CN cắt nhau tại A (gt )nên G là trọng tâm của tam giác ABC

Suy ra GM = GB/2,

GN = GC/2,(tc trọng tâm của tg ) (1)

mà P là trung điểm của GB (gt) nên GP= PB = GB/2 (2)

Q là trung điểm của GC (gt) nên GQ = QC = GC/2 (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra GM = GP vs GN = GQ

Xét tg PQMN có : GM = GP VS GN = GQ (cmt)

Do dó tứ giác FQMN có hai đg chéo HP vs NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành

Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD , AB // CD

Hai điểm B ,C lần lượt là trug điểm AE ,DF

Suy ra AE DF ,AB = BE = CD = CF

Tứ giác AEFD có AE // DF( vì AB//CD ), AE = DF( cmt)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành

Vì hbh AEFD có hai đg chéo AF vs DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm mỗi đường , ta gọi giao điểm đó là O

Hình bình hành AEFD có hai đg chéo AF vs BC

Mà O là trg điểm AF

Suy ra O cg là trg điểm BC

Vậy các trg điểm của ba đoạn thg AF ,DE,BC trùng nhau

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có

Hai đg chéo AC vs BD cắt nhau tại điểm O nên OA = OC , OB = OD

AB // CD nên AM // CN suy ra OAM = OCN ( slt)

Sét tg OAM vs OCN có

OAM = OCN ( cmt)

OA = OC (cmt)

AOM = CON ( hia góc đối đỉnh)

Do tg OAM = OCN ( gcg )

Suy ra AM = CN ( 2 cạnh tương ứng )

Mặt khác AB = CD (cmt )

AB =AM+ BM

CD = CN+ DN

Suy ra BM = DN

Xét tg MBND có

BM//DN (vì AB //CD)

BM=DN ( cmt )

Do đó tg MBND là hình bình hành

a, vì ABCD là hình bình hành nên AB=CD, AB // CD

Mà E,F lần lượt là tđ của AB ,CD nên AE = BE=1/2AB, CF = DF=1/2 CD

Do đó AE = BE = CF =DF

Xét tứ giác AEFD có

AE//DF (vìAB //CD)

AE=DF(cmt)

Do đó tg AEFD là hình bình hành

Xét tg AECF có

AE//CF (vì AB//CD)

AE=CF(cmt)

Do đó tg AECFlà hình bình hành

b,Vì tg AEFD là hình bình hành nên EF = AD

Vì tg AECF là hình bình hành nên AF = EC

Vậy EF = AD ,AF = EC