Do BD là đường trung tuyến của ∆ABC (gt)

⇒ D là trung điểm của AC

Do CE là đường trung tuyến của ∆ABC (gt)

⇒ E là trung điểm của AB

⇒ DE là đường trung bình của ∆ABC

⇒ DE // BC và DE = BC : 2

⇒ BC = 2DE

Do DE // BC (cmt)

⇒ BCDE là hình thang

Do M là trung điểm của BE (gt)

N là trung điểm của CD (gt)

⇒ MN là đường trung bình của hình thang BCDE

⇒ MN // DE // BC và MN = (DE + BC) : 2

Do MN // DE (cmt)

⇒ MI // DE và NK // DE

∆BDE có:

MI // DE (cmt)

M là trung điểm của BE (gt)

⇒ I là trung điểm của BD

⇒ MI là đường trung bình của ∆BDE

⇒ MI = DE : 2   (1)

∆CDE có:

NK // DE (cmt)

N là trung điểm của CD (gt)

⇒ K là trung điểm của CE

⇒ NK là đường trung bình của ∆CDE

⇒ NK = DE : 2   (2)

Mà MI = DE : 2

⇒ MI = NK = DE : 2

⇒ MI + NK = DE

Ta có:

MN = (DE + BC) : 2

Mà BC = 2DE (cmt)

⇒ MN = (DE + 2DE) : 2

= DE + DE : 2

Lại có:

MN = MI + IK + NK

= (MI + NK) + IK

= DE + IK

⇒ DE + IK = DE + DE : 2

⇒ IK = DE : 2 (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ MI = IK = KN

a/Xét tam giác ABC có

NA=NB; MA=MC => MN là đường trung bình của tam giác ABC => MN//BC

Xét tam giác GBC có

DG=DB; EG=EC => DE là đường trung bình của tam giác GBC => DE//BC

=> MN//DE (cùng // BC)

b/Xét tam giác ABG có

NA=NB; DG=DB => ND là đường trung bình của tam giác ABG => ND//AG

Xét tam giác ACG có

MA=MC; EG=EC => ME là đường trung bình của tam giác ACG => ME//AG

=> ND//ME (cùng // với AG)

a. Gọi E là trung điểm của MC

Từ giả thiết:  AM=12MC nên AM = ME = EC

Xét tam giác BCM có ME = EC (cmt); DB = DC (gt)

⇒ DE là đường trung bình của tam giác BCM

⇒ DE // BM 

Xét tam giác ADE có

AM = ME (cmt)

BM // DE (cmt)

⇒ OM // DE

⇒ OA = OD (trong tam giác đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

b. Ta có DE là đường trung bình của tam giác BCM ⇒ DE=12BM

Xét tam giác ADE có

OA=OD (cmt); AM=ME (cmt) ⇒ OM là đường trung bình của tam giác ADE

⇒ OM=12DE=12.12BM=14BM.

a) Gọi K trung điểm của DC, nối K với M

Xét Δ DBC, có: 

MB = MC

DK = KC

=> KM là đường trung bình của ΔDBC

=> KM // DB

hay KM // DI

Xét Δ AMK, có:

DI // KM

AI = IM

=> AD = DK ( theo tính chất đường trung bình của Δ)

=> AD = 1/2
b) Xét Δ AMK, có:

AD=DK

AI=IM

=>DI là đường trung bình của tam giác AMK

=> DI =1/2 DC

lại có MK =1/2BD

=>1/2 =1/2BD

=>}1/4BD

Vậy DI = 1/4BD