a) Do ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC.

Do AD // BC nên ˆADB=ˆCBD (so le trong)

Xét DADH và DCBK có:

ˆAHD=ˆCKB=90°;

AD = BC (chứng minh trên);

ˆADH=ˆCBK (do ˆADB=ˆCBD).

Do đó DADH = DCBK (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng).

Ta có AH ⊥ DB và CK ⊥ DB nên AH // CK.

Tứ giác AHCK có AH // CK và AH = CK nên AHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

a) Vì 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình bình hành (gt)

Suy ra AD=BC,𝐴𝐷//𝐵𝐶

Mà E, F là trung điểm của AD, BC(gt)

Suy ra AE=ED=BF=FC

Xét tứ giác EBFD Ta có:

ED=FB(cmt)

ED // BF(do AD // BC)

Suy ra EDFB là hình bình hành

b) Vì ABCD là hình bình hành (gt)

Suy ra O là trung điểm của ACvà BD

Mà DEBF là hình bình hành (gt)

Suy ra Ocũng là trung điểm của EF

Suy ra E, O, F thẳng hàng

ΔABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G.
Suy ra G là trọng tâm của tam giác.

⇒BG=2/3BM;GM=1/3BM(1)
Mà: PG=1/2BG=1/2 . 2/3BM=1/3BM(2)

Từ (1), (2) suy ra GM = PG

Chứng minh tương tự ta cũng có QG = GN

Tứ giác PQMN có hai đường chéo QN và PM cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên tứ giác PQMN là hình bình hành

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, DC = AB, suy ra AE // DF, AE = 2AB = 2CD = DF.

⇒ AEFD là hình bình hành.

Tương tự, tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành.

b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường.

Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường.

Vậy ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.