Giải

a) Vì cạnh BC cố định

suy ra điểm B là điểm cố định.

Vì AB=4 không đổi

suy ra điểm A nằm trên đường tròn (B;4 cm)

suy ra A chạy trên đường tròn tâm B bán kính AB.

Vậy A di động trên đường tròn tâm B bán kính AB.

b) Kẻ đường thẳng MO song song với đoạn thẳng AB cắt BC tại O.

Xét △ABC có:

M là trung điểm của AC;

MO // AB

suy ra O là trung điểm của BC.

Xét △ABC có:

M là trung điểm của AC;

O là trung điểm của BC

suy ra MO là đường trung bình của △ABC

suy ra MO=1/2BC

suy ra MO= 2 (cm).

Vì điểm M cách điểm O một khoảng bằng 2 cm nên M nằm trên đường tròn (O;2 cm)

Ta có: cạnh BC cố định

suy ra điểm O cố định

suy ra MO không đổi.

Vậy M di động trên đường tròn tâm O bán kính MO.

Giải

a) Vì OA=OB=R

suy ra △OAB cân tại O.

Vì M là trung điểm của AB

suy ra OM là đường trung tuyến của △OAB.

Xét △OAB cân tại O có:

OM là đường trung tuyến của △OAB

suy ra OM cũng là đường trung trực của △OAB.

Vậy OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB

b) Ta có: khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB chính là đoạn thẳng OM

Vì M là trung điểm của AB

suy ra MA=1/2AB

suy ra MA=4 (cm).

Áp dụng định lí Pythagore trong △OAM vuông tại M có:

OA^2=OM^2+MA^2

5^2=OM^2+4^2

25=OM^2+16

OM^2=25-16

OM^2=9

OM=3 (cm).

Vậy khoảng cách từ O đến đường thẳng AB là OM=3 cm

Giải

Giả sử AD cắt BC tại E.

Từ giả thuyết trên ta có:

∠E+∠EDC+∠ECD=180 ( tổng 3 góc của một tam giác)

suy ra ∠E=180- (∠EDC+∠ECD)

suy ra ∠E=180-90

suy ra ∠E=90.

Xét △ABC có:

M là trung điểm của AB;

Q là trung điểm của AC

suy ra MQ là đường trung bình của △ABC

suy ra MQ // BC (1).

Xét △DBC có:

N là trung điểm của BD;

P là trung điểm của CD

suy ra NP là đường trung bình của △DBC

suy ra NP // BC (2).

Từ (1) và (2) suy ra MQ //NP.

Xét △BAD có:

M là trung điểm của AB;

N là trung điểm của BD

suy ra MN là đường trung bình của △BAD

suy ra MN // AD (3).

Xét △CDA có:

Q là trung điểm của AC;

P là trung điểm của CD

suy ra PQ là đường trung bình của △CDA

suy ra PQ // DA (4)

Từ (3) và (4) suy ra MN // PQ.

Xét tứ giác MNPQ có: MQ //NP; MN // PQ

suy ra MNPQ là hình bình hành

Vì MN // AD ( chứng minh trên)

suy ra MN // ED

mà ED ⊥ EC ( ∠E =90)

suy ra MN ⊥ EC

mà MQ // EC ( MQ // BC)

suy ra MN ⊥ MQ

suy ra ∠MNQ=90.

Gọi O là giao điểm của MP và NQ.

Xét hình bình hành MNPQ có: ∠MNQ=90

suy ra MNPQ là hình chữ nhật

suy ra O là trung điểm của 2 đường chéo MP và NQ

suy ra OM=OP=1/2MP; ON=OQ=1/2NQ

mà MP=NQ (MNPQ là hình chữ nhật)

suy ra OM=ON=OP=OQ.

Vì bốn điểm M, N, P, Q đều cách đều tâm O một khoảng bằng OM nên bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc đường tròn tâm O bán kính R=OM.

Vậy bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn.

Giải

Xét △ABC đều có:

CP là đường trung trực của △ABC;

BN là đường trung trực của △ABC

suy ra CP, BN cũng là các đường cao của △ABC

suy ra CP ⊥ AB; BN ⊥ AC.

Vì AM là đường trung trực của △ABC

suy ra M là trung điểm của BC.

Xét △BPC có: M là trung điểm của BC

suy ra MP bằng một nửa cạnh huyền

suy ra MP=MB=MC=1/2BC (1).

Xét △BNC có: M là trung điểm của BC

suy ra MN bằng một nửa cạnh huyền

suy ra MN=MB=MC=1/2BC (2).

Từ (1) và (2) suy ra MB=MP=MN=MC.

Vì bốn điểm B, P, N, C đều cách đều M một khoảng bằng MB nên bốn điểm B, P, N ,C cũng thuộc đường tròn tâm M bán kính R=MB.

Vì M là trung điểm của BC ( AM là đường trung trực của △ABC)

suy ra MB=1/2BC

suy ra MB=1/2a

suy ra MB=a/2.

Vậy bốn điểm B, P, N, C cùng thuộc một đường tròn;

độ dài bán kính là MB=a/2.

Giải

Gọi O là trung điểm của AM.

Vì AH là đường cao của △ABC

suy ra AH ⊥ BC.

Xét AHM vuông tại H có: O là trung điểm của AM

suy ra OH bằng một nửa cạnh huyền

suy ra OH=OA=OM=1/2AM (1).

Xét △ADM vuông tại D có: O là trung điểm của AM

suy ra OD bằng một nửa cạnh huyền

suy ra OD=OA=OM=1/2AM (2).

Xét △AME vuông tại E có: O là trung điểm của AM

suy ra OE bằng một nửa cạnh huyền

suy ra OE=OA=OM-1/2AM (3).

Từ (1), (2), (3) suy ra OA=OD=OM=OH=OE.

Vì năm điểm A, D, M, H, E đều cách đều O một khoảng bằng OA nên năm điểm A, D, M, H, E cùng thuộc đường tròn tâm O bán kính R=OA.

Vậy năm điểm A, D, M, H, E cùng nằm trên một đường tròn.

Giải

a) Vì d là đường thẳng đi qua tâm O

suy ra d là trục đối xứng của đường tròn.

Vì A thuộc (O) và điểm B là điểm đối xứng với A qua d

suy ra B thuộc (O).

Vì điểm C và D lần lượt đối xứng của A và B qua O

suy ra C thuộc (O) và D thuộc (O).

Vậy ba điểm B, C, D thuộc (O).

b) Vì 2 điểm A và C đối xứng với nhau qua tâm O

suy ra O là trung điểm của AC.

Vì 2 điểm B và D đối xứng với nhau qua tâm O

suy ra O là trung điểm của BD.

Xét tứ giác ABCD có:

O là trung điểm của AC;

O là trung điểm của BD

suy ra ABCD là hình bình hành

mà AC=BD ( bằng 2 lần bán kính (O) )

suy ra ABCD là hình chữ nhật.

Vậy ABCD là hình chữ nhật.

c) Vì ABCD là hình chữ nhật ( chứng minh b)

suy ra AB // CD

mà AB ⊥ d ( d là đường trung trực của AB)

suy ra CD ⊥ d.

Xét △ODC có: OC=OD

suy ra △ODC cân tại O

mà d là đường cao của △ODC (chứng minh trên)

suy ra d cũng là đường trung trực của △ODC

suy ra 2 điểm C và D đối xứng với nhau qua đường thẳng d.

Vậy C và D đối xứng với nhau qua d.

Giải

Gọi O là trung điểm của BC.

Vì BD và CE lần lượt là đường cao của △ABC

suy ra BD ⊥ AC; CE ⊥ AB

suy ra △BDC vuông tại D; △BEC vuông tại E.

Xét △BDC vuông tại D có: O là trung điểm của BC

suy ra OD bằng một nửa cạnh huyền

suy ra OD=OB=OC=1/2BC (1).

Xét △BEC vuông tại E có: O là trung điểm của BC

suy ra OE bằng một nửa cạnh huyền

suy ra OE=OB=OC=1/2BC (2).

Xét △BFC vuông tại F có: O là trung điểm của BC

suy ra OF bằng một nửa cạnh huyền

suy ra OF=OB=OC=1/2BC (3).

Từ (1), (2), (3) suy ra OB=OC=OD=OE=OF.

Vì năm điểm B, C, D, E, F đều cách đều O một khoảng bằng OB nên năm điểm B, C, D, E, F cùng thuộc đường tròn tâm O bán kính R=OB.

Vậy năm điểm B, C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn.

Giải

a) Vì ABCD là hình vuông

suy ra E là trung điểm của hai đường chéo AC và BD

suy ra EA=EC=1/2AC; EB=ED=1/2BD

mà AC=BD ( ABCD là hình vuông)

suy ra EA=EB=EC=ED.

Vì bốn điểm A, B, C, D đều cách đều E một khoảng bằng EA nên bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn tâm E bán kính R=EA

Vậy có một đường tròn đi qua các điểm A, B, C, D;

tâm của đường tròn đó là tâm E;

trục đối xứng của đường tròn đó là AC và BD.

b) Áp dụng định lý Pythagore trong △ABC vuông tại B có:

AC^2= AB^2 + BC^2

AC^2= 3^2 + 3^2

AC^2= 9+9

AC^2=18

AC=3√2.

Vì EA=1/2AC (E là trung điểm của AC)

suy ra EA=3√2 /2.

Vậy bán kính của đường tròn đó là EA=3√2 /2.

Gọi tứ giác ABCD là hình thoi và M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, AB, BC, CD.

Vì ABCD là hình thoi

suy ra AB=BC=CD=AD

mà NA=NB=1/2AB (N là trung điểm của AB)

PB=PC=1/2BC (P là trung điểm của BC)

QC=QD=1/2CD (Q là trung điểm của CD)

MA=MD=1/2AD (M là trung điểm của AD)

suy ra NA=NB=PB=PC=QC=QD=MA=MD.

Xét △AMN và △CQP có:

MA=QC ( chứng minh trên)

∠A=∠C ( ABCD là hình thoi)

NA=PC (chứng minh trên)

suy ra △AMN = △CQP ( c.g.c)

suy ra MN=PQ ( 2 cạnh tương ứng).

Xét △DMQ và △BNP có:

MD=NB ( chứng minh trên)

∠D=∠B ( ABCD là hình thoi)

QD=PB ( chứng minh trên)

suy ra △DMQ = △BNP (c.g.c)

suy ra MQ=NP ( 2 cạnh tương ứng).

Xét tứ giác MNPQ có:

MQ=NP; MN=PQ ( chứng minh trên)

suy ra MNPQ là hình bình hành.

Xét △ABD có:

M là trung điểm của AD

N là trung điểm của AB

suy ra MN là đường trung bình của △ABD

suy ra MN // BD.

Xét △ABC có:

N là trung điểm của AB

P là trung điểm của BC

suy ra NP là đường trung bình của △ABC

suy ra NP // AC.

Vì AC ⊥ BD ( ABCD là hình thoi)

mà MN // BD ( chứng minh trên)

suy ra AC ⊥ MN

mà NP // AC ( chứng minh trên)

suy ra NP ⊥ MN

suy ra ∠MNP =90.

Xét hình bình hành MNPQ có: ∠MNP =90

suy ra MNPQ là hình chữ nhật.

Gọi O là giao điểm 2 đường chéo MP và NQ.

Vì MNPQ là hình chữ nhật

suy ra O là trung điểm của 2 đường chéo MP và NQ

suy ra OM=OP=1/2MP; ON=OQ=1/2NQ

mà MP=NQ ( MNPQ là hình chữ nhật)

suy ra OM=ON=OP=OQ.

Vì bốn điểm M, N, P, Q, đều cách đều O một khoảng bằng OM nên bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc đường tròn tâm O bán kính R=OM.

Vậy bốn trung điểm của bốn cạnh hình thoi cùng thuộc một đường tròn.

Giải

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Xét △ABC vuông tại B ta có: O là trung điểm của AC

suy ra OB bằng một nửa cạnh huyền

suy ra OB=1/2AC (1).

Xét △ADC vuông tại D ta có: O là trung điểm của AC

suy ra OD bằng một nửa cạnh huyền

suy ra OD=1/2AC (2).

Xét △BAD vuông tại A ta có: O là trung điểm của BD

suy ra OA bằng một nửa cạnh huyền

suy ra OA=1/2BD (3).

Xét △BCD vuông tại C ta có: O là trung điểm của BD

suy ra OC bằng một nửa cạnh huyền

suy ra OC=1/2BD (4).

Vì ABCD là hình chữ nhật

suy ra AC=BD (5).

Từ (1), (2), (3), (4) và (5) suy ra OA=OB=OC=OD.

Vì bốn điểm A, B, C, và D cách đều O một khoảng bằng OD nên bốn điểm A, B, C và D cùng thuộc đường tròn tâm O bán kính R=OD.

Áp dụng định lý Pythagore trong △ABC vuông tại B có:

AC^2=AB^2+BC^2

AC^2=a^2+b^2

AC=√a^2+b^2.

Vì OA=1/2AC

suy ra OA=√a^2+b^2 /2.

Vậy bốn điểm A, B, C và D cùng thuộc một đường tròn có tâm O và bán kính là OA=√a^2+b^2 /2.