a) \(A B C D\) là hình bình hành ⇒ hai đường chéo \(A C , B D\) cắt nhau tại \(O\) là trung điểm của mỗi đường.

Xét △OBM và △ODP có :

    OB = OD  ( gt   )

 \(\hat{O B M} = \hat{O D P}\)  ( slt )

     \(\hat{B O M} = \hat{D O P}\) (đối đỉnh)

⇒ \(\Delta O B M = \Delta O D P\) (g.c.g)

⇒  \(O M = O P\) (hai cạnh tương ứng)

CMTT :  \(\Delta O A Q = \Delta O C N\) (g.c.g) ⇒ \(O Q = O N\) (hai cạnh tương ứng)

\(M N P Q\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường ⇒ MNPQ là hình bình hành.

b) Hình bình hành \(M N P Q\) có hai đường chéo \(M P ⊥ N Q\) nên là hình thoi.

a + b )

Vì ABCD là hbh ⇒ AB = CD ; AB // CD ( tính chất hbh )

Ta có : AM = BM = \(\frac12\) AB ( M là trung điểm AB )

CN = DN = \(\frac12\) CD ( N là trung điểm CD )

Mà AB = CD ( cmt )

⇒ AM = BM = CN = DN

Xét tứ giác AMCN có : AM // CN ( vì AB // CD ); AM = CN ( cmt )

⇒ tứ giác AMCN là hbh

Lại có \(\Delta A D C\) vuông tại \(A\) có \(A N\) là đường trung tuyến nên \(A N = \frac{1}{2} D C = D N = C N\).

Hình bình hành \(A M C N\) có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi, khi đó hai đường chéo \(A C , M N\) vuông góc với nhau.

Vì ABCD là hình thoi nên BD ⊥ AC ⇒ BD là đường trung trực của AC

⇒ AG = CG ; AH = CH ( tính chất đường trung trực ) (1)

CMTT : AC là đường trung trực của BD

⇒ AG =AH ; CG = CH ( tính chất đường trung trực ) (2)

Từ (1), (2) ⇒ Tứ giác AGCH là hình thoi