a,

Tứ giác ABCD là hình bình hành nên BC // AD ⇒ˆDBC=ˆBDA

Xét ΔBON và ΔDOQ có:

ˆDBC=ˆBDA (cmt)

DO=BO (tính chất đường chéo trong hình bình hành)

ˆDOQ=ˆBON (đối đỉnh)

⇒ΔBON=ΔDOQ (g.c.g)`

⇒QO=ON

⇒O là trung điểm của QN (1)

Chứng minh tương tự ta có:

O là trung điểm của MP (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành

b,

Tứ giác MNPQ là hình bình hành có hai đường chéo MP⊥QN nên là hình thoi

a: Ta có: \(A M = M B = \frac{A B}{2}\)

\(D N = N C = \frac{D C}{2}\)

mà AB=DC(ABCD là hình bình hành)

nên AM=MB=DN=NC

Xét tứ giác AMND có

AM//ND

AM=ND

Do đó: AMND là hình bình hành

=>AD//MN

mà AD\(\bot\)AC

nên MN\(\bot\)AC

b: Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

Hình bình hành AMCN có AC\(\bot\)MN

nên AMCN là hình thoi

ABCD là hình thoi

=>AC vuông góc BD tại trung điểm của mỗi đường và BD là phân giác của góc ABC

Xét tam giác ADF và tam giác ABE có

AD=AB

\(\hat{A D F} = \hat{A B E}\)

DF=BE

Do đó: tam giácADF=tam giác ABE

=>AF=AE và \(\hat{A F D} = \hat{A E B}\)

Xét ΔHFD và ΔGEB có

\(\hat{H F D} = \hat{G E B} ; \hat{F D H} = \hat{E B G} \left(\right. = \hat{A B D} \left.\right)\)

DF=BE

Do đó: ΔHFD=ΔGEB

=>HF=GE và DH=BG

AH+HF=AF

AG+GE=AE

mà HF=GE và AF=AE

nên AH=AG

Xét tam giác CDH và tam giác ABG có

CD=AB

\(\hat{C D H} = \hat{A B G}\)

DH=BG

Do đó: ΔCDH=ΔABG

=>CH=AG

Xét tam giácADH và tam giác CBG có

AD=CB

\(\hat{A D H} = \hat{C B G}\)

DH=BG

Do đó: tam giác ADH=tam giác CBG

=>AH=CG

Xét tứ giác AGCH có

AG=CH

AH=CG

Do đó: AGCH là hình bình hành

mà AC vuông góc GH

nên AGCH là hình thoi