a. Gọi \(O I = a , \& \text{nbsp} ; \& \text{nbsp} ; O K = b\). Ta có \(I K = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\), \(r_{\left(\right. I \left.\right)} = b , \& \text{nbsp} ; \& \text{nbsp} ; r_{\left(\right. K \left.\right)} = a\). Rõ ràng \(\mid a - b \mid < \sqrt{a^{2} + b^{2}} < a + b\). Vậy \(\left(\right. I \left.\right)\) và \(\left(\right. K \left.\right)\) cắt nhau (hai điểm phân biệt).

b. Lấy hệ trục với \(O \left(\right. 0 , 0 \left.\right) , \& \text{nbsp} ; \& \text{nbsp} ; I \left(\right. a , 0 \left.\right) , \& \text{nbsp} ; \& \text{nbsp} ; K \left(\right. 0 , b \left.\right)\). Khi đó
\(M = \left(\right. a + b , 0 \left.\right) , \& \text{nbsp} ; \& \text{nbsp} ; N = \left(\right. 0 , a + b \left.\right)\). Tiếp tuyến tại \(M\) là \(x = a + b\), tại \(N\) là \(y = a + b\). Do đó \(C = \left(\right. a + b , a + b \left.\right)\). Vì
\(O \left(\right. 0 , 0 \left.\right) , \& \text{nbsp} ; \& \text{nbsp} ; M \left(\right. a + b , 0 \left.\right) , \& \text{nbsp} ; \& \text{nbsp} ; C \left(\right. a + b , a + b \left.\right) , \& \text{nbsp} ; \& \text{nbsp} ; N \left(\right. 0 , a + b \left.\right)\) nên \(O M C N\) là hình vuông cạnh \(a + b\).

c. Phương trình đường thẳng chứa giao điểm hai đường tròn là

\(b \& \text{nbsp} ; y - a \& \text{nbsp} ; x = b^{2} - a^{2} .\)

Thay \(C \left(\right. a + b , a + b \left.\right)\) ta có \(b \left(\right. a + b \left.\right) - a \left(\right. a + b \left.\right) = b^{2} - a^{2}\), nên \(C\) thuộc đường thẳng này. Do đó \(A , B , C\) thẳng hàng.

d. Nếu \(O I + O K = s\) không đổi thì với \(a = O I , \& \text{nbsp} ; \& \text{nbsp} ; b = O K\) ta có \(a + b = s\) và phương trình đường thẳng AB trở thành

Cho hai đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) và \(\left(\right. O^{'} \left.\right)\) giao nhau tại \(M\) và \(N\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(O O^{'}\). Đường thẳng kẻ qua \(M\) vuông góc \(M I\) cắt đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) và \(\left(\right. O^{'} \left.\right)\) lần lượt ở \(A\) và \(B\). Hai đường thẳng vuông góc với \(A B\) tại \(A\) và \(B\) cắt đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) ở \(P\), \(\left(\right. O^{'} \left.\right)\) ở \(Q\)

a. Chứng minh rằng \(M\) là trung điểm của \(A B\).

b. \(M I\) cắt \(P Q\) ở \(E\), chứng minh \(E P = E Q\).

c. Chứng minh \(I H = I K\).

a) Gọi \(l\) là đường thẳng qua \(M\) vuông góc \(M I\), \(l\) cắt \(\left(\right. O \left.\right)\) tại \(A\) (khác \(M\)) và cắt \(\left(\right. O^{^{^{'}}} \left.\right)\) tại \(B\) (khác \(M\)). Vì \(l\) đi qua \(M\) nên \(A , M , B\) thẳng hàng. Xét hai tam giác \(\triangle I M A\) và \(\triangle I M B\): cả hai đều có cạnh chung \(I M\) và góc tại \(M\) bằng nhau (bằng \(9 0^{\circ}\) vì \(l ⊥ I M\)). Ngoài ra \(I A\) và \(I B\) là hai khoảng cách từ cùng một điểm \(I\) tới hai điểm trên hai đường tròn sao cho hai tam giác tương ứng đối xứng qua \(I M\); do đó \(M A = M B\). Vậy \(M\) là trung điểm của \(A B\).

b) Gọi \(P\) là giao điểm thứ hai của đường thẳng qua \(A\) vuông góc \(A B\) với \(\left(\right. O \left.\right)\), \(Q\) là giao điểm thứ hai của đường thẳng qua \(B\) vuông góc \(A B\) với \(\left(\right. O^{^{^{'}}} \left.\right)\). Gọi \(E = M I \cap P Q\). Phép đối xứng qua đường thẳng \(I M\) đổi \(A \leftrightarrow B\) và đồng thời đổi \(P \leftrightarrow Q\); vì \(E\) nằm trên trục đối xứng \(I M\) nên là hình ảnh chính nó; do đó \(E\) là trung điểm của đoạn \(P Q\), tức \(E P = E Q\).

a,

Hai đường tròn có bán kính:

• \(R = 12 \& \text{nbsp} ; \text{cm}\)
• \(R^{^{^{'}}} = 5 \& \text{nbsp} ; \text{cm}\)

Khoảng cách tâm:

\(O O^{^{^{'}}} = 13 \& \text{nbsp} ; \text{cm}\)

Điều kiện để hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt là:

\(\mid R - R^{^{^{'}}} \mid < O O^{^{^{'}}} < R + R^{^{^{'}}}\)

Ta có:

\(\mid 12 - 5 \mid = 7 < 13 < 17 = 12 + 5\)

Điều kiện thỏa mãn nên hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

b,

Gọi \(A , B\) là hai giao điểm của hai đường tròn.

Vì \(A\) nằm trên cả hai đường tròn nên:

\(A O = 12 , A O^{^{^{'}}} = 5\)

Xét tam giác \(O O^{^{^{'}}} A\):

Theo định lý Pythagore:

\(O O^{^{^{'}} 2} = A O^{2} + A O^{^{^{'}} 2} = 1 2^{2} + 5^{2} = 144 + 25 = 169\) \(O O^{^{^{'}}} = 13\)

Hệ thức Pythagore đúng ⇒ tam giác \(O O^{^{^{'}}} A\) vuông tại \(A\).

Vậy:

\(\angle O A O^{^{^{'}}} = 9 0^{\circ}\)

Do đó:

• \(O A ⊥ O^{^{^{'}}} A\) nên OA là tiếp tuyến của đường tròn \(\left(\right. O^{^{^{'}}} \left.\right)\).
• \(O^{^{^{'}}} A ⊥ O A\) nên O'A là tiếp tuyến của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\).

Trong tam giác \(O O^{^{^{'}}} A\) vuông tại \(A\):

• \(A O = 12\)
• \(A O^{^{^{'}}} = 5\)
• \(O O^{^{^{'}}} = 13\)

Đường kính chung \(A B\) là dây chung của hai đường tròn.
Khoảng cách từ \(A\) đến tâm \(O O^{^{^{'}}}\) là chiều cao trong tam giác vuông:

Trong tam giác vuông \(O O^{^{^{'}}} A\):

\(A B = \frac{2 \cdot A O \cdot A O^{^{^{'}}}}{O O^{^{^{'}}}} = \frac{2 \cdot 12 \cdot 5}{13}\)

\(AB=\frac{120}{13}cm\)