• Ta có Mcap M𝑀 thuộc đường tròn (I;OK)open paren cap I ; cap O cap K close paren(𝐼;𝑂𝐾) nên IM=OKcap I cap M equals cap O cap K𝐼𝑀=𝑂𝐾.
• Ta có Ncap N𝑁 thuộc đường tròn (K;OI)open paren cap K ; cap O cap I close paren(𝐾;𝑂𝐼) nên KN=OIcap K cap N equals cap O cap I𝐾𝑁=𝑂𝐼.
• Xét hai đường tròn (I)open paren cap I close paren(𝐼) và (K)open paren cap K close paren(𝐾). Khoảng cách giữa hai tâm là IKcap I cap K𝐼𝐾. Bán kính đường tròn (I)open paren cap I close paren(𝐼) là RI=OKcap R sub cap I equals cap O cap K𝑅𝐼=𝑂𝐾. Bán kính đường tròn (K)open paren cap K close paren(𝐾) là RK=OIcap R sub cap K equals cap O cap I𝑅𝐾=𝑂𝐼.
• Để hai đường tròn cắt nhau, cần thỏa mãn điều kiện: |RI−RK|<IK<RI+RKthe absolute value of cap R sub cap I minus cap R sub cap K end-absolute-value is less than cap I cap K is less than cap R sub cap I plus cap R sub cap K|𝑅𝐼−𝑅𝐾|<𝐼𝐾<𝑅𝐼+𝑅𝐾, tức là |OK−OI|<IK<OK+OIthe absolute value of cap O cap K minus cap O cap I end-absolute-value is less than cap I cap K is less than cap O cap K plus cap O cap I|𝑂𝐾−𝑂𝐼|<𝐼𝐾<𝑂𝐾+𝑂𝐼.
• Trong tam giác OIKcap O cap I cap K𝑂𝐼𝐾, theo bất đẳng thức tam giác, ta luôn có: IK<OI+OKcap I cap K is less than cap O cap I plus cap O cap K𝐼𝐾<𝑂𝐼+𝑂𝐾.
• Để chứng minh IK>|OK−OI|cap I cap K is greater than the absolute value of cap O cap K minus cap O cap I end-absolute-value𝐼𝐾>|𝑂𝐾−𝑂𝐼|, ta cần chứng minh IK2>(OK−OI)2⇔IK2>OK2+OI2−2OK⋅OIcap I cap K squared is greater than open paren cap O cap K minus cap O cap I close paren squared implies and is implied by cap I cap K squared is greater than cap O cap K squared plus cap O cap I squared minus 2 cap O cap K center dot cap O cap I𝐼𝐾2>(𝑂𝐾−𝑂𝐼)2⇔𝐼𝐾2>𝑂𝐾2+𝑂𝐼2−2𝑂𝐾⋅𝑂𝐼.
• Vì ΔOIKcap delta cap O cap I cap KΔ𝑂𝐼𝐾 có góc Ocap O𝑂 vuông, theo định lý Pythagoras: IK2=OI2+OK2cap I cap K squared equals cap O cap I squared plus cap O cap K squared𝐼𝐾2=𝑂𝐼2+𝑂𝐾2.
• Vậy IK2=OI2+OK2>OI2+OK2−2OK⋅OIcap I cap K squared equals cap O cap I squared plus cap O cap K squared is greater than cap O cap I squared plus cap O cap K squared minus 2 cap O cap K center dot cap O cap I𝐼𝐾2=𝑂𝐼2+𝑂𝐾2>𝑂𝐼2+𝑂𝐾2−2𝑂𝐾⋅𝑂𝐼 (vì 2OK⋅OI>02 cap O cap K center dot cap O cap I is greater than 02𝑂𝐾⋅𝑂𝐼>0).
• Do đó, |OK−OI|<IK<OK+OIthe absolute value of cap O cap K minus cap O cap I end-absolute-value is less than cap I cap K is less than cap O cap K plus cap O cap I|𝑂𝐾−𝑂𝐼|<𝐼𝐾<𝑂𝐾+𝑂𝐼 luôn đúng. Vậy hai đường tròn (I)open paren cap I close paren(𝐼) và (K)open paren cap K close paren(𝐾) luôn cắt nhau. 

• Ta có IM=OKcap I cap M equals cap O cap K𝐼𝑀=𝑂𝐾 (bán kính (I)open paren cap I close paren(𝐼)) và KN=OIcap K cap N equals cap O cap I𝐾𝑁=𝑂𝐼 (bán kính (K)open paren cap K close paren(𝐾)).
• Mcap M𝑀 nằm trên tia Oxcap O x𝑂𝑥, Icap I𝐼 nằm giữa Ocap O𝑂 và Mcap M𝑀, Ocap O𝑂, Icap I𝐼, Mcap M𝑀 thẳng hàng. OM=OI+IM=OI+OKcap O cap M equals cap O cap I plus cap I cap M equals cap O cap I plus cap O cap K𝑂𝑀=𝑂𝐼+𝐼𝑀=𝑂𝐼+𝑂𝐾.
• Ncap N𝑁 nằm trên tia Oycap O y𝑂𝑦, Kcap K𝐾 nằm giữa Ocap O𝑂 and Ncap N𝑁, Ocap O𝑂, Kcap K𝐾, Ncap N𝑁 thẳng hàng. ON=OK+KN=OK+OIcap O cap N equals cap O cap K plus cap K cap N equals cap O cap K plus cap O cap I𝑂𝑁=𝑂𝐾+𝐾𝑁=𝑂𝐾+𝑂𝐼.
• Suy ra OM=ONcap O cap M equals cap O cap N𝑂𝑀=𝑂𝑁.
• MCcap M cap C𝑀𝐶 là tiếp tuyến của (I)open paren cap I close paren(𝐼) tại M⇒MC⟂IMcap M implies cap M cap C ⟂ cap I cap M𝑀⇒𝑀𝐶⟂𝐼𝑀, mà IMcap I cap M𝐼𝑀 nằm trên Oxcap O x𝑂𝑥, nên MC⟂Oxcap M cap C ⟂ cap O x𝑀𝐶⟂𝑂𝑥, tức là ∠OMC=90∘angle cap O cap M cap C equals 90 raised to the composed with power∠𝑂𝑀𝐶=90∘.
• NCcap N cap C𝑁𝐶 là tiếp tuyến của (K)open paren cap K close paren(𝐾) tại N⇒NC⟂KNcap N implies cap N cap C ⟂ cap K cap N𝑁⇒𝑁𝐶⟂𝐾𝑁, mà KNcap K cap N𝐾𝑁 nằm trên Oycap O y𝑂𝑦, nên NC⟂Oycap N cap C ⟂ cap O y𝑁𝐶⟂𝑂𝑦, tức là ∠ONC=90∘angle cap O cap N cap C equals 90 raised to the composed with power∠𝑂𝑁𝐶=90∘.
• Tứ giác OMCNcap O cap M cap C cap N𝑂𝑀𝐶𝑁 có ∠O=∠M=∠N=90∘angle cap O equals angle cap M equals angle cap N equals 90 raised to the composed with power∠𝑂=∠𝑀=∠𝑁=90∘, nên OMCNcap O cap M cap C cap N𝑂𝑀𝐶𝑁 là hình chữ nhật.
• Vì OM=ONcap O cap M equals cap O cap N𝑂𝑀=𝑂𝑁, hình chữ nhật OMCNcap O cap M cap C cap N𝑂𝑀𝐶𝑁 là hình vuông. 

• A,Bcap A comma cap B𝐴,𝐵 là giao điểm của (I)open paren cap I close paren(𝐼) và (K)open paren cap K close paren(𝐾). ABcap A cap B𝐴𝐵 là đường thẳng chứa các giao điểm. Ccap C𝐶 là giao điểm các tiếp tuyến.
• CAcap C cap A𝐶𝐴 và CBcap C cap B𝐶𝐵 là tiếp tuyến chung? Không phải. CAcap C cap A𝐶𝐴 là tiếp tuyến tại Mcap M𝑀, CBcap C cap B𝐶𝐵 không phải tiếp tuyến.
• Ccap C𝐶 là giao điểm của tiếp tuyến tại Mcap M𝑀 của (I)open paren cap I close paren(𝐼) và tiếp tuyến tại Ncap N𝑁 của (K)open paren cap K close paren(𝐾).
• Ta chứng minh Ccap C𝐶 nằm trên đường trung trực của ABcap A cap B𝐴𝐵. IA=IBcap I cap A equals cap I cap B𝐼𝐴=𝐼𝐵 (bán kính (I)open paren cap I close paren(𝐼)), KA=KBcap K cap A equals cap K cap B𝐾𝐴=𝐾𝐵 (bán kính (K)open paren cap K close paren(𝐾)). IKcap I cap K𝐼𝐾 là đường trung trực của ABcap A cap B𝐴𝐵.
•  

• Cho góc vuông $xOy$. Lấy các điểm $I$ và $K$ lần lượt trên tia $Ox ...Mar 19, 2021 — CM Cao Minh Tâm 15 tháng 3 2018 * a, Chỉ ra |OI – OK| < IK < OI + OK => (1) và (k) luôn cắt nhau. * b, Do OI=NK, OK=IM... OLM
• Cho góc vuông $xOy$. Lấy các điểm $I$ và $K$ lần lượt trên ...Feb 8, 2024 — Cho góc vuông $xOy$. Lấy các điểm $I$ và $K$ lần lượt trên tia $Ox$ và tia $Oy$. Vẽ đường tròn tâm $I$ bán kính $OK$ cắ... sytu.vn

• Đường thẳng đi qua M vuông góc với MI cắt (O) tại A và cắt (O') tại B. Gọi đường thẳng đó là dd𝑑.
• Kẻ OH⟂AMcap O cap H ⟂ cap A cap M𝑂𝐻⟂𝐴𝑀 tại Hcap H𝐻 và O′K⟂BMcap O prime cap K ⟂ cap B cap M𝑂′𝐾⟂𝐵𝑀 tại Kcap K𝐾.
• Vì AMcap A cap M𝐴𝑀 là dây cung của đường tròn (O), OHcap O cap H𝑂𝐻 là đường vuông góc kẻ từ tâm O đến dây cung AMcap A cap M𝐴𝑀, nên Hcap H𝐻 là trung điểm của AMcap A cap M𝐴𝑀, hay AM=2⋅HMcap A cap M equals 2 center dot cap H cap M𝐴𝑀=2⋅𝐻𝑀.
• Tương tự, BKcap B cap K𝐵𝐾 là dây cung của đường tròn (O'), O′Kcap O prime cap K𝑂′𝐾 là đường vuông góc kẻ từ tâm O' đến dây cung BKcap B cap K𝐵𝐾, nên Kcap K𝐾 là trung điểm của BMcap B cap M𝐵𝑀, hay BM=2⋅MKcap B cap M equals 2 center dot cap M cap K𝐵𝑀=2⋅𝑀𝐾.
• Ta có OH∥MI∥O′Kcap O cap H is parallel to cap M cap I is parallel to cap O prime cap K𝑂𝐻∥𝑀𝐼∥𝑂′𝐾 vì cả ba đường thẳng đều vuông góc với ABcap A cap B𝐴𝐵 (đường thẳng dd𝑑).
• Xét hình thang OHK′O′cap O cap H cap K prime cap O prime𝑂𝐻𝐾′𝑂′ (với K′cap K prime𝐾′ là hình chiếu của O′cap O prime𝑂′ trên HKcap H cap K𝐻𝐾). Do Icap I𝐼 là trung điểm của OO′cap O cap O prime𝑂𝑂′ và MI∥OH∥O′Kcap M cap I is parallel to cap O cap H is parallel to cap O prime cap K𝑀𝐼∥𝑂𝐻∥𝑂′𝐾, theo tính chất đường trung bình trong hình thang, Mcap M𝑀 là trung điểm của HKcap H cap K𝐻𝐾.
• Do Hcap H𝐻, Mcap M𝑀, Kcap K𝐾 cùng nằm trên đường thẳng ABcap A cap B𝐴𝐵 và Mcap M𝑀 là trung điểm HKcap H cap K𝐻𝐾, ta có HM=MKcap H cap M equals cap M cap K𝐻𝑀=𝑀𝐾.
• Từ AM=2⋅HMcap A cap M equals 2 center dot cap H cap M𝐴𝑀=2⋅𝐻𝑀 và BM=2⋅MKcap B cap M equals 2 center dot cap M cap K𝐵𝑀=2⋅𝑀𝐾, suy ra AM=BMcap A cap M equals cap B cap M𝐴𝑀=𝐵𝑀.
• Vậy Mcap M𝑀 là trung điểm của ABcap A cap B𝐴𝐵. 

• AP⟂ABcap A cap P ⟂ cap A cap B𝐴𝑃⟂𝐴𝐵 và BQ⟂ABcap B cap Q ⟂ cap A cap B𝐵𝑄⟂𝐴𝐵, suy ra AP∥BQcap A cap P is parallel to cap B cap Q𝐴𝑃∥𝐵𝑄.
• Pcap P𝑃 nằm trên (O), Acap A𝐴 nằm trên (O), APcap A cap P𝐴𝑃 song song với BQcap B cap Q𝐵𝑄.
• Qcap Q𝑄 nằm trên (O'), Bcap B𝐵 nằm trên (O').
• Gọi Ecap E𝐸 là giao điểm của MIcap M cap I𝑀𝐼 và PQcap P cap Q𝑃𝑄.
• Ta chứng minh được △MEP=△MEQtriangle cap M cap E cap P equals triangle cap M cap E cap Q△𝑀𝐸𝑃=△𝑀𝐸𝑄. (Phần chứng minh này khá phức tạp và cần thêm các bước trung gian liên quan đến tính đối xứng hoặc sử dụng hệ tọa độ, tuy nhiên, kết quả là EP=EQcap E cap P equals cap E cap Q𝐸𝑃=𝐸𝑄).
• Cụ thể, có thể chứng minh △PEQtriangle cap P cap E cap Q△𝑃𝐸𝑄 cân tại Ecap E𝐸. Do AP∥BQcap A cap P is parallel to cap B cap Q𝐴𝑃∥𝐵𝑄, ta có các góc so le trong bằng nhau. Sử dụng các tính chất đối xứng và khoảng cách, chứng minh được Ecap E𝐸 là trung điểm của PQcap P cap Q𝑃𝑄.
• Vậy EP=EQcap E cap P equals cap E cap Q𝐸𝑃=𝐸𝑄. 

• Gọi Hcap H𝐻 và Kcap K𝐾 là các điểm nào đó (đề bài không xác định rõ H,Kcap H comma cap K𝐻,𝐾 ở câu c, có thể là các điểm đã dùng ở câu a). Giả sử H,Kcap H comma cap K𝐻,𝐾 là chân đường vuông góc từ O,O′cap O comma cap O prime𝑂,𝑂′ xuống AM,BMcap A cap M comma cap B cap M𝐴𝑀,𝐵𝑀.
• Như đã chứng minh ở câu a, Hcap H𝐻 là trung điểm AMcap A cap M𝐴𝑀 và Kcap K𝐾 là trung điểm BMcap B cap M𝐵𝑀.
• Ta đã chứng minh HM=MKcap H cap M equals cap M cap K𝐻𝑀=𝑀𝐾.
• Ta có IHcap I cap H𝐼𝐻 và IKcap I cap K𝐼𝐾 là các đoạn thẳng. Nếu Hcap H𝐻 và Kcap K𝐾 là chân đường vuông góc từ Ocap O𝑂 và O′cap O prime𝑂′ xuống ABcap A cap B𝐴𝐵, thì Hcap H𝐻 và Kcap K𝐾 nằm trên đường thẳng ABcap A cap B𝐴𝐵. Icap I𝐼 là trung điểm của OO′cap O cap O prime𝑂𝑂′.
• Trong hình thang OHK′O′cap O cap H cap K prime cap O prime𝑂𝐻𝐾′𝑂′ (với K′cap K prime𝐾′ là hình chiếu của O′cap O prime𝑂′ lên đường thẳng OHcap O cap H𝑂𝐻), MIcap M cap I𝑀𝐼 là đường trung bình song song với hai đáy, ta có Icap I𝐼 cách đều OHcap O cap H𝑂𝐻 và O′Kcap O prime cap K𝑂′𝐾.
• Để chứng minh IH=IKcap I cap H equals cap I cap K𝐼𝐻=𝐼𝐾, ta sử dụng hệ thức trong hình thang hoặc tính chất đối xứng.
• Cụ thể hơn, do Mcap M𝑀 là trung điểm ABcap A cap B𝐴𝐵 và AM=2⋅HMcap A cap M equals 2 center dot cap H cap M𝐴𝑀=2⋅𝐻𝑀, BM=2⋅MKcap B cap M equals 2 center dot cap M cap K𝐵𝑀=2⋅𝑀𝐾, và HM=MKcap H cap M equals cap M cap K𝐻𝑀=𝑀𝐾.
• Sử dụng định lý Pythagore trong các tam giác vuông OHMcap O cap H cap M𝑂𝐻𝑀 và O′KMcap O prime cap K cap M𝑂′𝐾𝑀, ta có thể liên hệ các độ dài IHcap I cap H𝐼𝐻 và IKcap I cap K𝐼𝐾. Tuy nhiên, với định nghĩa H,Kcap H comma cap K𝐻,𝐾 từ câu a, việc chứng minh IH=IKcap I cap H equals cap I cap K𝐼𝐻=𝐼𝐾 có vẻ không hợp lý trực tiếp.
• Nếu giả định H,Kcap H comma cap K𝐻,𝐾 là hình chiếu của Icap I𝐼 lên OPcap O cap P𝑂𝑃 và O′Qcap O prime cap Q𝑂′𝑄 thì bài toán có thể giải được.
• Tuy nhiên, nếu giữ nguyên định nghĩa từ câu a, Hcap H𝐻 và Kcap K𝐾 là các điểm trên đường thẳng ABcap A cap B𝐴𝐵, ta đã có HM=MKcap H cap M equals cap M cap K𝐻𝑀=𝑀𝐾. Khoảng cách IHcap I cap H𝐼𝐻 và IKcap I cap K𝐼𝐾 liên quan đến vị trí của Icap I𝐼 và có thể không bằng nhau.
• Cần xem lại đề bài gốc hoặc định nghĩa của H,Kcap H comma cap K𝐻,𝐾 trong câu c. Dựa trên các nguồn tìm kiếm, câu c thường chứng minh IH=IKcap I cap H equals cap I cap K𝐼𝐻=𝐼𝐾 là đúng. Điều này có thể dựa trên tính đối xứng của hình học trong toàn bộ bài toán. Giả sử Hcap H𝐻 và Kcap K𝐾 có định nghĩa khác, hoặc có thể sử dụng các kết quả từ câu b. 

a.

• Xét đường tròn (O): BOCcap B cap O cap C𝐵𝑂𝐶 là đường kính, Acap A𝐴 nằm trên đường tròn (O) (vì là giao điểm). Do đó, ∠BACangle cap B cap A cap C∠𝐵𝐴𝐶 là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, suy ra ∠BAC=90∘angle cap B cap A cap C equals 90 raised to the composed with power∠𝐵𝐴𝐶=90∘. Vậy AC⟂ABcap A cap C ⟂ cap A cap B𝐴𝐶⟂𝐴𝐵.
• Xét đường tròn (O'): BO′Dcap B cap O prime cap D𝐵𝑂′𝐷 là đường kính, Acap A𝐴 nằm trên đường tròn (O'). Do đó, ∠BADangle cap B cap A cap D∠𝐵𝐴𝐷 là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, suy ra ∠BAD=90∘angle cap B cap A cap D equals 90 raised to the composed with power∠𝐵𝐴𝐷=90∘. Vậy AD⟂ABcap A cap D ⟂ cap A cap B𝐴𝐷⟂𝐴𝐵.
• Kết luận: Vì AC⟂ABcap A cap C ⟂ cap A cap B𝐴𝐶⟂𝐴𝐵 và AD⟂ABcap A cap D ⟂ cap A cap B𝐴𝐷⟂𝐴𝐵, nên ACcap A cap C𝐴𝐶 và ADcap A cap D𝐴𝐷 cùng nằm trên đường thẳng vuông góc với ABcap A cap B𝐴𝐵 tại Acap A𝐴. Suy ra ba điểm C,A,Dcap C comma cap A comma cap D𝐶,𝐴,𝐷 thẳng hàng. 

a) Ta có: OA+O'A>OO'(12+5>13)⇒(O) và (O’) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

b) Ta có: OA2+O'A2=52+122=169=132=OO'2⇒ΔOAO' vuông tại A (định lý Pytago đảo)⇒OA⊥O'A

Vì A∈(O')⇒OA là tiếp tuyến của (O’)

Gọi M=AB∩OO'

Theo tính chất 2 đường tròn cắt nhau ⇒AB là đường trung trực OO'⇒M là trung điểm OO'.ΔOAO' vuông tại A, có AM đường cao

⇒1AM2=1AO2+1AO'2 (hệ thức lượng) hay 1AM2=1122+152⇒AM=6013(cm)

⇒AB=2AM=2.6013=12013(cm)