Dựa vào phương trình chi phí 2x+3(5−x)2+1​=13, ta có 2 trường hợp:

• Trường hợp 1: x=5 km
• • Tổng chiều dài dây điện (AB+BC): 6 km
• Trường hợp 2: x=2.6 km
• • Tổng chiều dài dây điện (AB+BC): 5.2 km

a) Tính \(cos ⁡ \alpha\)

Góc giữa hai đường thẳng
\(\Delta : 3 x - 4 y + 7 = 0\)
\(\Delta_{1} : 12 x - 5 y + 7 = 0\)

Dùng công thức:

\(cos ⁡ \alpha = \frac{\mid a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} \mid}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}} \textrm{ } \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}}\)

Thay vào:

• \(\Delta : \left(\right. a_{1} , b_{1} \left.\right) = \left(\right. 3 , - 4 \left.\right)\)
• \(\Delta_{1} : \left(\right. a_{2} , b_{2} \left.\right) = \left(\right. 12 , - 5 \left.\right)\)

\(cos ⁡ \alpha = \frac{\mid 3 \cdot 12 + \left(\right. - 4 \left.\right) \cdot \left(\right. - 5 \left.\right) \mid}{\sqrt{3^{2} + \left(\right. - 4 \left.\right)^{2}} \textrm{ } \sqrt{12^{2} + \left(\right. - 5 \left.\right)^{2}}}\)\(= \frac{\mid 36 + 20 \mid}{\sqrt{25} \textrm{ } \sqrt{169}} = \frac{56}{5 \cdot 13} = \frac{56}{65}\)

👉 Kết quả:

\(\boxed{cos ⁡ \alpha = \frac{56}{65}}\)

b) Viết phương trình tiếp tuyến song song với \(\Delta\)

Đường tròn:

\(\left(\right. x + 3 \left.\right)^{2} + \left(\right. y - 2 \left.\right)^{2} = 36\)

→ Tâm \(I \left(\right. - 3 , 2 \left.\right)\), bán kính \(R = 6\)

Đường thẳng song song với \(\Delta : 3 x - 4 y + 7 = 0\) có dạng:

\(d : 3 x - 4 y + c = 0\)

Điều kiện tiếp xúc:

\(\text{Kho}ả\text{ng}\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{ch}\&\text{nbsp};\text{t}ừ\&\text{nbsp}; I \&\text{nbsp};đ \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{n}\&\text{nbsp}; d = R\)\(\frac{\mid 3 \left(\right. - 3 \left.\right) - 4 \left(\right. 2 \left.\right) + c \mid}{\sqrt{3^{2} + \left(\right. - 4 \left.\right)^{2}}} = 6\)\(\frac{\mid - 9 - 8 + c \mid}{5} = 6 \Rightarrow \mid c - 17 \mid = 30\)

→ \(c - 17 = \pm 30\)

• \(c = 47\)
• \(c = - 13\)

👉 Kết quả:

\(\boxed{d : 3 x - 4 y + 47 = 0 \text{ho}ặ\text{c} 3 x - 4 y - 13 = 0}\)

a) \(- 2 x^{2} + 18 x + 20 \geq 0\)

Nhân cả hai vế với \(- 1\) (đổi chiều bất phương trình):

\(2 x^{2} - 18 x - 20 \leq 0\)

Chia 2:

\(x^{2} - 9 x - 10 \leq 0\)

Phân tích:

\(\left(\right. x - 10 \left.\right) \left(\right. x + 1 \left.\right) \leq 0\)

→ Nghiệm:

\(\boxed{x \in \left[\right. - 1 , \textrm{ } 10 \left]\right.}\)

b) \(\sqrt{2 x^{2} - 8 x + 4} = x - 2\)

Điều kiện:

• \(x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2\)

Bình phương hai vế:

\(2 x^{2} - 8 x + 4 = \left(\right. x - 2 \left.\right)^{2}\)\(2 x^{2} - 8 x + 4 = x^{2} - 4 x + 4\)

Chuyển vế:

\(x^{2} - 4 x = 0 \Rightarrow x \left(\right. x - 4 \left.\right) = 0\)

→ \(x = 0\) hoặc \(x = 4\)

Đối chiếu điều kiện \(x \geq 2\):

• Loại \(x = 0\)
• Nhận \(x = 4\)

→ Kết quả:

\(\boxed{x = 4}\)

Ta có:

• Khối lượng vật: \(m = 200 \textrm{ } k g\)
• Độ cao: \(h = 10 \textrm{ } m\)
• Lực kéo dây: \(F = 1500 \textrm{ } N\)
• Hệ có 1 ròng rọc cố định + 1 ròng rọc động → phải kéo dây quãng đường gấp 2 lần độ cao vật nâng.

Lấy \(g \approx 10 \textrm{ } m / s^{2}\).

1. Công có ích (nâng vật)

\(A_{\overset{ˊ}{\imath} c h} = m g h\)\(A_{\overset{ˊ}{\imath} c h} = 200 \times 10 \times 10 = 20000 \textrm{ } J\)

2. Công toàn phần (công kéo dây)

Quãng đường kéo dây:

\(s = 2 h = 2 \times 10 = 20 \textrm{ } m\)\(A_{t p} = F \times s\)\(A_{t p} = 1500 \times 20 = 30000 \textrm{ } J\)

3. Hiệu suất

\(H = \frac{A_{\overset{ˊ}{\imath} c h}}{A_{t p}} \times 100 \%\)\(H = \frac{20000}{30000} \times 100 \% = 66.7 \%\)

✅ Hiệu suất của hệ ≈ 66,7%

Ta có:

• Cơ năng \(W = 37 , 5 \&\text{nbsp};\text{J}\)
• \(W_{đ} = \frac{3}{2} W_{t}\)
• \(h = 3 \&\text{nbsp};\text{m}\)
• \(g = 10 \&\text{nbsp}; \text{m}/\text{s}^{2}\)

1. Tìm \(W_{t}\) và \(W_{đ}\)

Cơ năng:

\(W = W_{đ} + W_{t}\)

Thay \(W_{đ} = \frac{3}{2} W_{t}\):

\(W = \frac{3}{2} W_{t} + W_{t}\)\(W = \frac{5}{2} W_{t}\)\(37 , 5 = \frac{5}{2} W_{t}\)\(W_{t} = 15 \&\text{nbsp};\text{J}\)\(W_{đ} = 37 , 5 - 15 = 22 , 5 \&\text{nbsp};\text{J}\)

2. Tìm khối lượng

\(W_{t} = m g h\)\(15 = m \times 10 \times 3\)\(m = 0 , 5 \&\text{nbsp};\text{kg}\)

3. Tìm vận tốc

\(W_{đ} = \frac{1}{2} m v^{2}\)\(22 , 5 = \frac{1}{2} \times 0 , 5 \times v^{2}\)\(22 , 5 = 0 , 25 v^{2}\)\(v^{2} = 90\)\(v \approx 9 , 5 \&\text{nbsp};\text{m}/\text{s}\)

✅ Kết quả:

• Khối lượng: \(m = 0 , 5 \&\text{nbsp}; k g\)
• Vận tốc: \(v \approx 9 , 5 \&\text{nbsp}; m / s\)

có:

• Lực kéo \(F = 200 \&\text{nbsp};\text{N}\)
• Quãng đường \(s = 10 \&\text{nbsp};\text{m}\)
• Thời gian \(t = 5 \&\text{nbsp};\text{s}\)
• Góc với phương ngang \(\alpha = 60^{\circ}\)

1. Công của lực kéo

Công thức:

\(A = F \cdot s \cdot cos ⁡ \alpha\)\(A = 200 \times 10 \times cos ⁡ 60^{\circ}\)\(cos ⁡ 60^{\circ} = 0.5\)\(A = 200 \times 10 \times 0.5 = 1000 \&\text{nbsp};\text{J}\)

✅ Công của lực kéo: 1000 J

2. Công suất

Công thức:

\(P = \frac{A}{t}\)\(P = \frac{1000}{5} = 200 \&\text{nbsp};\text{W}\)

✅ Công suất: 200 W

📌 Đáp án cần ghi:

• Công: 1000 J
• Công suất: 200 W

lực căng của dây là : 14N

lực căng của dây là : 14N

lực căng của dây là : 14N

lực căng của dây là : 14N