Gọi L là trực tâm tam giác ABC và M là trung điểm HK.

Tam giác HAB vuông tại H có \(\hat{H A B} = 4 5^{o} \Rightarrow \Delta H A B\) vuông cân tại H

\(\Rightarrow H A = H B\) \(\Rightarrow\) H thuộc đường trung trực của AB

Mà O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC \(\Rightarrow\) O cũng nằm trên trung trực của AB

\(\Rightarrow\) OH là đường trung trực của đoạn AB.

\(\Rightarrow O H \bot A B\)

Mà \(L K \bot A B\) (do L là trực tâm tam giác ABC) nên OH//LK

Tương tự, ta chứng minh được OK//LH 

\(\Rightarrow\) Tứ giác OHKL là hình bình hành.

Mà M là trung điểm HK \(\Rightarrow\) M cũng là trung điểm OL

Mặt khác, ta có \(\hat{H A L} = \hat{H B C}\) (cùng phụ với \(\hat{A C B}\)) và \(\hat{H B C} = \hat{D B C} = \hat{D A C} = \hat{H A D}\) nên \(\hat{H A L} = \hat{H A D}\)

\(\Rightarrow\) AH là tia phân giác của \(\hat{D A L}\). 

Lại có \(A H \bot D L \Rightarrow \Delta D A L\) cân tại A

\(\Rightarrow\) Đường cao AH cũng là trung tuyến \(\Rightarrow\) H là trung điểm DL

Do đó MH là đường trung bình của tam giác LOD

\(\Rightarrow\) MH//OD hay OD//HK

Tương tự, ta cũng chứng minh được OE//KH

\(\Rightarrow\) D, O, E thẳng hàng (tiên đề Euclid)

Gọi AD là đường kính của (O)

Xét (O) có

\(\hat{A B C}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

\(\hat{A D C}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\hat{A B C} = \hat{A D C}\)

Xét (O) có

ΔACD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔACD vuông tại C

Xét ΔAHB vuông tại H và ΔACD vuông tại C có

\(\hat{A B H} = \hat{A D C}\)

Do đó: ΔAHB~ΔACD

=>\(\frac{A H}{A C} = \frac{A B}{A D}\)

=>\(A B \cdot A C = A H \cdot A D = 2 R \cdot A H\)

Ta có \(\hat{A C D} = 9 0^{o}\) (góc nt chắn nửa đường tròn)

Xét tg vuông ADC có

\(\hat{O A C} + \hat{A D C} = 9 0^{o}\)

Xét tg vuông ABH có

\(\hat{B A H} + \hat{A B C} = 9 0^{o}\)

Ta có \(\hat{A D C} = \hat{A B C}\) (góc nt cùng chắn cung AC)

\(\Rightarrow \hat{B A H} = \hat{O A C}\)