a) Vì AH, CK vuông góc với BD => AH // CK

Vì ABCD là hình bình hành => AD = BC; AD // BC

Xét tam giác ADH và tam giác CBK, ta có:

góc AHD = góc CKB(=90 độ)

AD = BC

góc ADH = góc CBK( do AD // BC)

=>tam giác ADH = tam giác CBK(c.h-g.n)

=> AH = CK(2 cạnh tương ứng) mà AH // CK(chứng minh trên)

=> AHCK là hình bình hành

b) Vì AHCK là hình bình hành nên hai đường chéo HK và AC cắt nhau tại trung điểm

Mà I là trung điểm HK => I là trung điểm AC

Lại có ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm

=> I là trung điểm của BD hay IB = ID

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC

Mà E,F là trung điểm của AD, BC => AE = ED = BF = FC

Xét tứ giác EBFD ta có:

ED = FB(chứng minh trên)

ED // BF(do AD // BC)

=> EBFD là hình bình hành

b) Vì ABCD là hình bình hành => O là trung điểm của AC và BD

mà EBFD là hình bình hành => O cũng là trung điểm của EF

=> E, O, F thẳng hàng

Xét tam giác ABC có 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

=> GM = GB / 2 ; GN = GC / 2(tính chất trọng tâm của tam giác) (1)

Mà P là trung điểm của GB nên GP = PB = GB / 2 (2)

Q là trung điểm của GC nên GQ = QC = GC / 2 (3)

Từ (1) ; (2) và (3) => GM =GP và GN = GQ

Xét tứ giác PQMN có: GM = GP và GN = GQ(chứng minh trên)

Do đó tứ giác PQMN có 2 đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AB = CD

=> AE // DF, AE=2AB=2CD=DF

=> AEFD là hình bình hành

Tương tự, tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành

b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường

Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường

Vậy 3 trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD

AB // CD nên AM // CN suy ra góc OAM = góc OCN (2 góc so le trong)

Xét tam giác OAM và tam giác OCN, có:

góc OAM = góc OCN(chứng minh trên)

OA = OC(chứng minh trên)

góc AOM = góc CON(đối đỉnh)

Do đó tam giác OAM = tam giác OCN(g.c.g)

=> AM = CN(2 cạnh tương ứng). Mặt khác AB = CD; AB = AM+BM; CD= CN+DN

=> BM = DN.

Xét tứ giác MBND có:

BM // DN(vì AB // CD)

BM = DN(chứng minh trên). Do đó MBND là hình bình hành

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AB = CD.

Mà E, F lần lượt là trung điểm AB, CD nên AE = BE, CF = DF. Do đó AE = BE = CF = DF

Xét tứ giác AEFD có:

AE // DF(vì AB // CD) ; AE = DF(chứng minh trên). Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Xét tứ giác AECF có:

AE // CF(vì AB // CD) ; AE = CF(chứng minh trên). Do đó tứ giác AECF là hình bình hành.

b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD.

Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC