a) Xét Δ \(A B H\) vuông tại \(H\), ta có :  \(H B = A H . tan ⁡ \hat{B A H} = 4. tan ⁡ 2 8^{\circ} \approx 2 , 1\) (cm)

Xét Δ \(A H C\) vuông tại \(H\) , ta có:  \(H C = A H . cot ⁡ \hat{C} = 4. cot ⁡ 4 1^{\circ} \approx 4 , 6\) (cm)

b) Xét Δ\(A B H\) vuông tại \(H\), ta có

\(cos ⁡ \hat{B A H} = \frac{A H}{A B}\)  Hay \(A B = \frac{A H}{cos ⁡ \hat{B A H}} = \frac{4}{cos ⁡ 28 ^{\circ}} \approx 4 , 5\) (cm)

Xét Δ \(A H C\) vuông tại \(H\) nên:  \(sin ⁡ \hat{C} = \frac{A H}{A C}\)  hay \(A C = \frac{A H}{sin ⁡ \hat{C}} = \frac{4}{sin ⁡ 4 1^{\circ}} \approx 6 , 1\) (cm).

Kẻ  \(A H ⊥ B C\).

Xét \(\Delta A B H\) vuông tại \(H\) có:  \(A H = A B . sin ⁡ \hat{B} = 3. sin ⁡ 6 0^{\circ} \approx 2 , 6\)

 \(B H = A B . cos ⁡ \hat{B} = 3. cos ⁡ 6 0^{\circ} = 1 , 5\)

Ta có: \(H C = B C - H B = 4 , 5 - 1 , 5 = 3 , 0\)

Xét Δ ABH vuông tại H, Theo định lí Pythagore ta có : \(A B^{2} = B H^{2} + A H^{2} = 3^{2} + 2 , 6^{2} = 15 , 76\)

Suy ra \(A B = \sqrt{15 , 76} \approx 4 , 0\)

Xét \(\Delta A H C\) vuông tại \(H\) ta có :  \(tan ⁡ \hat{A C H} = \frac{A H}{H C} \approx \frac{2 , 6}{3 , 0} \approx tan ⁡ 4 0^{\circ} 5 5^{'}\)

Ta có: \(\hat{A} = 18 0^{\circ} - \hat{B} - \hat{C} = 18 0^{\circ} - \left(\right. 6 0^{\circ} + 4 0^{\circ} 5 5^{'} \left.\right) = 7 9^{\circ} 5^{'}\).

Kẻ \(A H ⊥ B C\)

Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) có:  \(A H = A B . sin ⁡ \hat{B} = 2 , 1. sin ⁡ 7 0^{\circ} \approx 1 , 97\)

 \(B H = A B . cos ⁡ \hat{B} = 2 , 1. cos ⁡ 7 0^{\circ} \approx 0 , 72\)

Xét \(\Delta A H C\) vuông tại \(H\) ta có

\(sin ⁡ \hat{C} = \frac{A H}{A C} \approx \frac{1 , 97}{3 , 8} \approx sin ⁡ 3 1^{\circ} 1 4^{'}\)

Do đó \(\hat{C} \approx 3 1^{\circ} 1 4^{'}\)

Lại có \(\hat{A} = 18 0^{\circ} - \left(\right. 7 0^{\circ} + 3 1^{\circ} 1 4^{'} \left.\right) = 7 8^{\circ} 4 6^{'}\)

 \(H C = A C . cos ⁡ \hat{C} \approx 3 , 80. cos ⁡ 3 1^{\circ} 1 4^{'} \approx 3 , 25\)

Ta có \(B C = B H + H C = 0 , 72 + 3 , 25 = 3 , 97\).

Ta có \(\hat{A} = 180 ^{\circ} - \hat{B} - \hat{C} = 7 5^{\circ}\)

Kẻ đường cao \(B H\).

Xét \(\Delta B C H\) vuông tại \(H\), ta có:

\(B H = B C . sin ⁡ \hat{C} = 4 , 2. sin ⁡ 4 0^{\circ} \approx 2 , 70\) (cm)

Xét \(\Delta A B H\) vuông tại \(H\), ta có:

\(A B = \frac{B H}{sin ⁡ \hat{A}} = \frac{2 , 70}{sin ⁡ 7 5^{\circ}} \approx 2 , 8\) (cm)

Ta có \(AC=AH+CH=BH.\left(\right.cot⁡\hat{A}+cot⁡\hat{C}\left.\right)=2,70.\left(\right.cot⁡75^{\circ}+cot⁡40^{\circ}\left.\right)\approx3,9\) cm.

Ta có \(\hat{A} = 18 0^{\circ} - \hat{B} - \hat{C} = 7 0^{\circ}\).

Kẻ đường cao \(A H\).

Xét \(\Delta A B H\) vuông tại \(H\), ta có \(A H = A B . sin ⁡ \hat{B} = 2 , 8. sin ⁡ 6 5^{\circ} \approx 2 , 54\) (cm).

Tương tự \(B H = A B . cos ⁡ \hat{B} = 2 , 8. cos ⁡ 6 5^{\circ} \approx 1 , 18\) (cm).

Mặt khác do giả thiết suy ra tam giác \(H A C\) vuông cân tại \(H\) nên \(H A = H C\).

Do đó \(B C \approx 2 , 54 + 1 , 18 = 3 , 7\) (cm).

Xét \(\Delta A H C\) vuông tại \(H\), ta có \(A C = \frac{H A}{sin ⁡ C} = \frac{2 , 54}{sin ⁡ 4 5^{\circ}} \approx 3 , 6\) (cm).