a) + Theo quy tắc hình bình hành ta có \(\overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{A D} = \overset{\rightarrow}{A C}\)
Suy ra \(\mid \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{A D} \mid = \mid \overset{\rightarrow}{A C} \mid = A C\).
Áp dụng định lí Pitago ta có
\(A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} = 2 a^{2} \Rightarrow A C = \sqrt{2} a\)
Vậy \(\mid \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{A D} \mid = a \sqrt{2}\)
+ Vì O là tâm của hình vuông nên \(\overset{\rightarrow}{O A} = \overset{\rightarrow}{C O}\) suy ra
\(\overset{\rightarrow}{O A} - \overset{\rightarrow}{C B} = \overset{\rightarrow}{C O} - \overset{\rightarrow}{C B} = \overset{\rightarrow}{B C}\)
Vậy \(\mid \overset{\rightarrow}{O A} - \overset{\rightarrow}{C B} \mid = \mid \overset{\rightarrow}{B C} \mid = a\)
+ Do \(A B C D\) là hình vuông nên \(\overset{\rightarrow}{C D} = \overset{\rightarrow}{B A}\) suy ra \(\overset{\rightarrow}{C D} - \overset{\rightarrow}{D A} = \overset{\rightarrow}{B A} + \overset{\rightarrow}{A D} = \overset{\rightarrow}{B D}\) Mà \(\mid \overset{\rightarrow}{B D} \mid = B D = \sqrt{A B^{2} + A D^{2}} = a \sqrt{2}\) suy ra \(\mid \overset{\rightarrow}{C D} - \overset{\rightarrow}{D A} \mid = a \sqrt{2}\)
b) Theo quy tắc trừ ta có
\(\overset{⃗}{u} = \left(\right. \overset{\rightarrow}{M A} - \overset{\rightarrow}{M C} \left.\right) + \left(\right. \overset{\rightarrow}{M B} - \overset{\rightarrow}{M D} \left.\right) = \overset{\rightarrow}{C A} + \overset{\rightarrow}{D B}\)
Suy ra \(\overset{⃗}{u}\) không phụ thuộc vị trí điểm \(M\).
Qua \(A\) kẻ đường thẳng song song với \(D B\) cắt \(B C\) tại \(C^{'}\).
Khi đó tứ giác \(A D B C^{'}\) là hình bình hành (vì có 2 cặp cạnh đối song song) suy ra \(\overset{\rightarrow}{D B} = \overset{\rightarrow}{A C^{'}}\)
Do đó \(\overset{⃗}{u} = \overset{\rightarrow}{C A} + \overset{\rightarrow}{A C^{'}} = \overset{\rightarrow}{C C^{'}}\)
Vì vậy \(\mid \overset{⃗}{u} \mid = \mid \overset{\rightarrow}{C C^{'}} \mid = B C + B C^{'} = a + a = 2 a\).

Theo quy tắc ba điểm ta có
- \(\overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{B C} = \overset{\rightarrow}{A C}\)
Mà \(sin ⁡ \hat{A B C} = \frac{A C}{B C}\)
\(\Rightarrow A C = B C \cdot sin ⁡ \hat{A B C} = a \sqrt{5} \cdot sin ⁡ 3 0^{\circ} = \frac{a \sqrt{5}}{2}\)
Do đó \(\mid \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{B C} \mid = \mid \overset{\rightarrow}{A C} \mid = A C = \frac{a \sqrt{5}}{2}\)
- \(\overset{\rightarrow}{A C} - \overset{\rightarrow}{B C} = \overset{\rightarrow}{A C} + \overset{\rightarrow}{C B} = \overset{\rightarrow}{A B}\)
Ta có \(A C^{2} + A B^{2} = B C^{2} \Rightarrow A B = \sqrt{B C^{2} - A C^{2}} = \sqrt{5 a^{2} - \frac{5 a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{15}}{2}\)
Vì vậy \(\mid \overset{\rightarrow}{A C} - \overset{\rightarrow}{B C} \mid = \mid \overset{\rightarrow}{A B} \mid = A B = \frac{a \sqrt{15}}{2}\)
- Gọi \(D\) là điểm sao cho tứ giác \(A B D C\) là hình bình hành.
Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có \(\overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{A C} = \overset{\rightarrow}{A D}\)
Vì tam giác \(A B C\) vuông ở \(A\) nên tứ giác \(A B D C\) là hình chữ nhật suy ra \(A D = B C = a \sqrt{5}\)
Vậy \(\mid \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{A C} \mid = \mid \overset{\rightarrow}{A D} \mid = A D = a \sqrt{5}\).

a) Nếu \(\overset{⃗}{a}\) và \(\overset{⃗}{b}\) cùng hướng thì \(\mid \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} \mid = \mid \overset{⃗}{a} \mid + \mid \overset{⃗}{b} \mid\).

b) Nếu \(\overset{⃗}{a}\) và \(\overset{⃗}{b}\) ngược hướng và \(\mid \overset{⃗}{b} \mid \geq \mid \overset{⃗}{a} \mid\) thì \(\mid \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} \mid = \mid \overset{⃗}{b} \mid - \mid \overset{⃗}{a} \mid\). c) \(\mid \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} \mid \leq \mid \overset{⃗}{a} \mid + \mid \overset{⃗}{b} \mid\). Khi nào xảy ra dấu đẳng thức?

Hướng dẫn giải:

Giả sữ: \(\overset{⃗}{a} = \overset{\rightarrow}{A B}\) và \(\overset{⃗}{b} = \overset{\rightarrow}{B C}\) thì \(\overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} = \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{B C} = \overset{\rightarrow}{A C}\).
a) Nếu \(\overset{⃗}{a}\) và \(\overset{⃗}{b}\) cùng hướng thì \(\mid \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} \mid = \mid \overset{⃗}{a} \mid + \mid \overset{⃗}{b} \mid\).
Nếu \(\overset{⃗}{a}\) và \(\overset{⃗}{b}\) cùng hướng thì 3 điểm \(A , B , C\) cùng thuộc một đường thẳng và \(B\) nằm giừa \(A , C\).

Do đó \(\mid \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} \mid = \mid \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{B C} \mid = \mid \overset{\rightarrow}{A C} \mid = A B + B C = \mid \overset{⃗}{a} \mid + \mid \overset{⃗}{b} \mid\).
Vậy \(\mid \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} \mid = \mid \overset{⃗}{a} \mid + \mid \overset{⃗}{b} \mid\).
b) Nếu \(\overset{⃗}{a}\) và \(\overset{⃗}{b}\) ngược hướng và \(\mid \overset{⃗}{b} \mid \geq \mid \overset{⃗}{a} \mid\) thì \(\mid \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} \mid = \mid \overset{⃗}{b} \mid - \mid \overset{⃗}{a} \mid\).
Nếu \(\overset{⃗}{a}\) và \(\overset{⃗}{b}\) ngược hướng và \(\mid \overset{⃗}{b} \mid \geq \mid \overset{⃗}{a} \mid\) thì ba điểm \(A , B , C\) cùng thuộc một đường thẳng và \(A\) nằm giừa \(B , C\).

Do đó \(\mid \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} \mid = \mid \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{B C} \mid = A C = B C - A B = \mid \overset{⃗}{b} \mid - \mid \overset{⃗}{a} \mid\).
Vậy \(\mid \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} \mid = \mid \overset{⃗}{b} \mid - \mid \overset{⃗}{a} \mid\).
c) \(\mid \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} \mid \leq \mid \overset{⃗}{a} \mid + \mid \overset{⃗}{b} \mid\). Khi nào xảy ra dấu đẳng thức?
Từ chứng minh ở câu a và b:
\(\Rightarrow\) nếu \(\overset{⃗}{a}\) và \(\overset{⃗}{b}\) cùng phương thì \(\mid \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} \mid = \mid \overset{⃗}{a} \mid + \mid \overset{⃗}{b} \mid\) hoặc \(\mid \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} \mid < \mid \overset{⃗}{a} \mid + \mid \overset{⃗}{b} \mid\).
Nếu \(\overset{⃗}{a}\) và \(\overset{⃗}{b}\) không cùng phương thi \(A , B , C\) không thẳng hàng.
Xét \(\triangle A B C\) có hệ thức \(A C < A B + B C\). Do đó \(\mid \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} \mid < \mid \overset{⃗}{a} \mid + \mid \overset{⃗}{b} \mid\).
Như vậy, trong mọi trường hợp ta có: \(\mid \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} \mid \leq \mid \overset{⃗}{a} \mid + \mid \overset{⃗}{b} \mid\), đẳng thức xảy ra khi \(\overset{⃗}{a}\) và \(\overset{⃗}{b}\) cùng hướng.

a) Vì \(P N , M N\) là đường trung bình của tam giác \(A B C\) nên
\(P N / / B M , M N / / B P\) suy ra tứ giác \(B M N P\) là hình bình hành
\(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{B M} = \overset{\rightarrow}{P N}\)
\(N\) là trung điểm của \(A C \Rightarrow \overset{\rightarrow}{C N} = \overset{\rightarrow}{N A}\)
Do đó theo quy tắc ba điểm ta có
\(\&\overset{\rightarrow}{B M}+\overset{\rightarrow}{C N}+\overset{\rightarrow}{A P}=\left(\right.\overset{\rightarrow}{P N}+\overset{\rightarrow}{N A}\left.\right)+\overset{\rightarrow}{A P}\\\&=\overset{\rightarrow}{P A}+\overset{\rightarrow}{A P}=\overset{\rightarrow}{0}\)
b) Vì tứ giác \(A P M N\) là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có \(\overset{\rightarrow}{A P} + \overset{\rightarrow}{A N} = \overset{\rightarrow}{A M}\), kết hợp với quy tắc trừ
\(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{A P} + \overset{\rightarrow}{A N} - \overset{\rightarrow}{A C} + \overset{\rightarrow}{B M} = \overset{\rightarrow}{A M} - \overset{\rightarrow}{A C} + \overset{\rightarrow}{B M} = \overset{\rightarrow}{C M} + \overset{\rightarrow}{B M}\)
Mà \(\overset{\rightarrow}{C M} + \overset{\rightarrow}{B M} = \overset{\rightarrow}{0}\) do \(M\) là trung điểm của \(B C\).
Vậy \(\overset{\rightarrow}{A P} + \overset{\rightarrow}{A N} - \overset{\rightarrow}{A C} + \overset{\rightarrow}{B M} = \overset{\rightarrow}{0}\).
c) Theo quy tắc ba điểm ta có
\(\&\overset{\rightarrow}{O A}+\overset{\rightarrow}{O B}+\overset{\rightarrow}{O C}=\left(\right.\overset{\rightarrow}{O P}+\overset{\rightarrow}{P A}\left.\right)+\left(\right.\overset{\rightarrow}{O M}+\overset{\rightarrow}{M B}\left.\right)+\left(\right.\overset{\rightarrow}{O N}+\overset{\rightarrow}{N C}\left.\right)\\\&=\left(\right.\overset{\rightarrow}{O M}+\overset{\rightarrow}{O N}+\overset{\rightarrow}{O P}\left.\right)+\overset{\rightarrow}{P A}+\overset{\rightarrow}{M B}+\overset{\rightarrow}{N C}\\\&=\left(\right.\overset{\rightarrow}{O M}+\overset{\rightarrow}{O N}+\overset{\rightarrow}{O P}\left.\right)-\left(\right.\overset{\rightarrow}{B M}+\overset{\rightarrow}{C N}+\overset{\rightarrow}{A P}\left.\right)\)

a) Vì \(P N , M N\) là đường trung bình của tam giác \(A B C\) nên
\(P N / / B M , M N / / B P\) suy ra tứ giác \(B M N P\) là hình bình hành
\(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{B M} = \overset{\rightarrow}{P N}\)
\(N\) là trung điểm của \(A C \Rightarrow \overset{\rightarrow}{C N} = \overset{\rightarrow}{N A}\)
Do đó theo quy tắc ba điểm ta có
\(\&\overset{\rightarrow}{B M}+\overset{\rightarrow}{C N}+\overset{\rightarrow}{A P}=\left(\right.\overset{\rightarrow}{P N}+\overset{\rightarrow}{N A}\left.\right)+\overset{\rightarrow}{A P}\\\&=\overset{\rightarrow}{P A}+\overset{\rightarrow}{A P}=\overset{\rightarrow}{0}\)
b) Vì tứ giác \(A P M N\) là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có \(\overset{\rightarrow}{A P} + \overset{\rightarrow}{A N} = \overset{\rightarrow}{A M}\), kết hợp với quy tắc trừ
\(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{A P} + \overset{\rightarrow}{A N} - \overset{\rightarrow}{A C} + \overset{\rightarrow}{B M} = \overset{\rightarrow}{A M} - \overset{\rightarrow}{A C} + \overset{\rightarrow}{B M} = \overset{\rightarrow}{C M} + \overset{\rightarrow}{B M}\)
Mà \(\overset{\rightarrow}{C M} + \overset{\rightarrow}{B M} = \overset{\rightarrow}{0}\) do \(M\) là trung điểm của \(B C\).
Vậy \(\overset{\rightarrow}{A P} + \overset{\rightarrow}{A N} - \overset{\rightarrow}{A C} + \overset{\rightarrow}{B M} = \overset{\rightarrow}{0}\).
c) Theo quy tắc ba điểm ta có
\(\&\overset{\rightarrow}{O A}+\overset{\rightarrow}{O B}+\overset{\rightarrow}{O C}=\left(\right.\overset{\rightarrow}{O P}+\overset{\rightarrow}{P A}\left.\right)+\left(\right.\overset{\rightarrow}{O M}+\overset{\rightarrow}{M B}\left.\right)+\left(\right.\overset{\rightarrow}{O N}+\overset{\rightarrow}{N C}\left.\right)\\\&=\left(\right.\overset{\rightarrow}{O M}+\overset{\rightarrow}{O N}+\overset{\rightarrow}{O P}\left.\right)+\overset{\rightarrow}{P A}+\overset{\rightarrow}{M B}+\overset{\rightarrow}{N C}\\\&=\left(\right.\overset{\rightarrow}{O M}+\overset{\rightarrow}{O N}+\overset{\rightarrow}{O P}\left.\right)-\left(\right.\overset{\rightarrow}{B M}+\overset{\rightarrow}{C N}+\overset{\rightarrow}{A P}\left.\right)\)

a)

Trong ngũ giác đều:

• Các góc giữa các vectơ \(\overset{⃗}{O A} , \overset{⃗}{O B} , . . . , \overset{⃗}{O E}\) lần lượt cách nhau \(72^{\circ}\).
• Hai vectơ đối xứng qua trục \(O D\) sẽ cho tổng cùng phương với \(O D\).

Cụ thể:

• \(A\) và \(B\) đối xứng với \(E\) và \(C\) quanh \(O D\).

Do đó:

• \(\overset{⃗}{O A} + \overset{⃗}{O B}\) là tổng của hai vectơ đối xứng → nằm trên trục đối xứng → cùng phương \(\overset{⃗}{O D}\).
• \(\overset{⃗}{O C} + \overset{⃗}{O E}\) tương tự.

Kết luận: cùng phương với \(\overset{⃗}{O D}\).

b)

Trong ngũ giác đều, các cạnh bằng nhau và có các hướng xoay đều.

• \(\overset{⃗}{A B}\) là cạnh thứ nhất.
• \(\overset{⃗}{E C}\) cũng là cạnh nhưng đi theo hướng tương tự (vì đi 3 bước trên vòng tròn).

Trong ngũ giác đều, hướng của cạnh thứ 1 và cạnh thứ 3 là song song.

→ \(\overset{⃗}{A B} \parallel \overset{⃗}{E C}\).

c)

\(\overset{⃗}{O A} + \overset{⃗}{O B} + \overset{⃗}{O C} + \overset{⃗}{O D} + \overset{⃗}{O E} = \overset{⃗}{0}\)

Tương tự bài lục giác:

• Các vectơ \(\overset{⃗}{O A} , \overset{⃗}{O B} , . . . , \overset{⃗}{O E}\) là 5 vectơ bằng nhau về độ dài, hướng cách nhau \(72^{\circ}\), chia đều một vòng tròn.

Tổng 5 vectơ đều hướng đối xứng quanh tâm luôn bằng:

\(\overset{⃗}{0}\)

a)

Trong ngũ giác đều:

• Các góc giữa các vectơ \(\overset{⃗}{O A} , \overset{⃗}{O B} , . . . , \overset{⃗}{O E}\) lần lượt cách nhau \(72^{\circ}\).
• Hai vectơ đối xứng qua trục \(O D\) sẽ cho tổng cùng phương với \(O D\).

Cụ thể:

• \(A\) và \(B\) đối xứng với \(E\) và \(C\) quanh \(O D\).

Do đó:

• \(\overset{⃗}{O A} + \overset{⃗}{O B}\) là tổng của hai vectơ đối xứng → nằm trên trục đối xứng → cùng phương \(\overset{⃗}{O D}\).
• \(\overset{⃗}{O C} + \overset{⃗}{O E}\) tương tự.

Kết luận: cùng phương với \(\overset{⃗}{O D}\).

b)

Trong ngũ giác đều, các cạnh bằng nhau và có các hướng xoay đều.

• \(\overset{⃗}{A B}\) là cạnh thứ nhất.
• \(\overset{⃗}{E C}\) cũng là cạnh nhưng đi theo hướng tương tự (vì đi 3 bước trên vòng tròn).

Trong ngũ giác đều, hướng của cạnh thứ 1 và cạnh thứ 3 là song song.

→ \(\overset{⃗}{A B} \parallel \overset{⃗}{E C}\).

c)

\(\overset{⃗}{O A} + \overset{⃗}{O B} + \overset{⃗}{O C} + \overset{⃗}{O D} + \overset{⃗}{O E} = \overset{⃗}{0}\)

Tương tự bài lục giác:

• Các vectơ \(\overset{⃗}{O A} , \overset{⃗}{O B} , . . . , \overset{⃗}{O E}\) là 5 vectơ bằng nhau về độ dài, hướng cách nhau \(72^{\circ}\), chia đều một vòng tròn.

Tổng 5 vectơ đều hướng đối xứng quanh tâm luôn bằng:

\(\overset{⃗}{0}\)

a)

Trong ngũ giác đều:

• Các góc giữa các vectơ \(\overset{⃗}{O A} , \overset{⃗}{O B} , . . . , \overset{⃗}{O E}\) lần lượt cách nhau \(72^{\circ}\).
• Hai vectơ đối xứng qua trục \(O D\) sẽ cho tổng cùng phương với \(O D\).

Cụ thể:

• \(A\) và \(B\) đối xứng với \(E\) và \(C\) quanh \(O D\).

Do đó:

• \(\overset{⃗}{O A} + \overset{⃗}{O B}\) là tổng của hai vectơ đối xứng → nằm trên trục đối xứng → cùng phương \(\overset{⃗}{O D}\).
• \(\overset{⃗}{O C} + \overset{⃗}{O E}\) tương tự.

Kết luận: cùng phương với \(\overset{⃗}{O D}\).

b)

Trong ngũ giác đều, các cạnh bằng nhau và có các hướng xoay đều.

• \(\overset{⃗}{A B}\) là cạnh thứ nhất.
• \(\overset{⃗}{E C}\) cũng là cạnh nhưng đi theo hướng tương tự (vì đi 3 bước trên vòng tròn).

Trong ngũ giác đều, hướng của cạnh thứ 1 và cạnh thứ 3 là song song.

→ \(\overset{⃗}{A B} \parallel \overset{⃗}{E C}\).

c)

\(\overset{⃗}{O A} + \overset{⃗}{O B} + \overset{⃗}{O C} + \overset{⃗}{O D} + \overset{⃗}{O E} = \overset{⃗}{0}\)

Tương tự bài lục giác:

• Các vectơ \(\overset{⃗}{O A} , \overset{⃗}{O B} , . . . , \overset{⃗}{O E}\) là 5 vectơ bằng nhau về độ dài, hướng cách nhau \(72^{\circ}\), chia đều một vòng tròn.

Tổng 5 vectơ đều hướng đối xứng quanh tâm luôn bằng:

\(\overset{⃗}{0}\)