Cho tam giác ABC có các đỉnh A, B, C và tam giác AEF có các đỉnh A, E, F.

Hai tam giác này có cùng trọng tâm G.

Gọi O là một điểm gốc tùy ý. Ta biểu diễn các đỉnh của hai tam giác bằng các vectơ vị trí từ gốc O:

\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC} là các vectơ vị trí của các đỉnh A, B, C.

\vec{OA}, \vec{OE}, \vec{OF} là các vectơ vị trí của các đỉnh A, E, F.

Trọng tâm G của tam giác ABC được xác định bởi công thức vectơ:

\vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3}

Trọng tâm G của tam giác AEF cũng được xác định bởi công thức vectơ:

\vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OE} + \vec{OF}}{3}

Vì G là cùng một điểm cho cả hai tam giác, ta có thể cho hai biểu thức của \vec{OG} bằng nhau:

\frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3} = \frac{\vec{OA} + \vec{OE} + \vec{OF}}{3}

Nhân cả hai vế với 3:

\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OE} + \vec{OF}

Trừ \vec{OA} ở cả hai vế:

\vec{OB} + \vec{OC} = \vec{OE} + \vec{OF}

Bây giờ, ta cần chứng minh \vec{BE} = \vec{FC}.

Ta biểu diễn \vec{BE} và \vec{FC} theo các vectơ vị trí:

\vec{BE} = \vec{OE} - \vec{OB}

\vec{FC} = \vec{OC} - \vec{OF}

Từ phương trình \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{OE} + \vec{OF}, ta có thể sắp xếp lại các số hạng để có được dạng mong muốn. Chuyển \vec{OF} sang vế trái và \vec{OB} sang vế phải:

\vec{OC} - \vec{OF} = \vec{OE} - \vec{OB}

Điều này chứng tỏ rằng:

\vec{FC} = \vec{BE}

Hay \vec{BE} = \vec{FC}.

a) Chứng minh \vec{AB} = \vec{NM}: Vì D đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của AD. Do đó, \vec{AB} = \vec{BD}. Vì E đối xứng với B qua C nên C là trung điểm của BE. Do đó, \vec{BC} = \vec{CE}. Vì F đối xứng với C qua A nên A là trung điểm của CF. Do đó, \vec{CA} = \vec{AF}. M là trung điểm của BC, N là trung điểm của EF. Ta có: \vec{NM} = \vec{EM} - \vec{EN} \vec{EM} = \vec{EC} + \vec{CM} Vì \vec{EC} = -\vec{BC} và \vec{CM} = \frac{1}{2}\vec{CB} = -\frac{1}{2}\vec{BC}, ta có: \vec{EM} = -\vec{BC} - \frac{1}{2}\vec{BC} = -\frac{3}{2}\vec{BC} \vec{EN} = \frac{1}{2}\vec{EF} Ta cần tính \vec{EF}. \vec{EF} = \vec{EA} + \vec{AF} \vec{EA} = \vec{EC} + \vec{CA} = -\vec{BC} + \vec{CA} \vec{AF} = \vec{CA} \vec{EF} = -\vec{BC} + 2\vec{CA} Vậy: \vec{EN} = \frac{1}{2}\vec{EF} = \frac{1}{2}(-\vec{BC} + 2\vec{CA}) = -\frac{1}{2}\vec{BC} + \vec{CA} Do đó: \vec{NM} = \vec{EM} - \vec{EN} = -\frac{3}{2}\vec{BC} - (-\frac{1}{2}\vec{BC} + \vec{CA}) = -\vec{BC} - \vec{CA} Ta có \vec{AB} = \vec{CB} + \vec{CA} = -\vec{BC} - \vec{CA}. Vậy \vec{AB} = \vec{NM}. b) Chứng minh \vec{MK} = \vec{NI}: Ta có: I là trung điểm của GA, suy ra \vec{GI} = \frac{1}{2}\vec{GA}. K là trung điểm của GD, suy ra \vec{GK} = \frac{1}{2}\vec{GD}. Ta cần chứng minh \vec{MK} = \vec{NI}. \vec{MK} = \vec{GK} - \vec{GM} \vec{NI} = \vec{GI} - \vec{GN} \vec{MK} = \frac{1}{2}\vec{GD} - \vec{GM} \vec{NI} = \frac{1}{2}\vec{GA} - \vec{GN} Ta cần chứng minh \frac{1}{2}\vec{GD} - \vec{GM} = \frac{1}{2}\vec{GA} - \vec{GN}. Vì G là giao điểm của AM và DN Ta có AM và DN là các đường trung tuyến của tam giác ABC và DEF tương ứng. Ta có tỉ lệ \frac{AG}{GM} và \frac{DG}{GN}. Xét \triangle ADN, ta có G là giao điểm của hai trung tuyến. Do đó G là trọng tâm của \triangle ADN. Suy ra \vec{AG} = \frac{2}{3}\vec{AM} và \vec{DG} = \frac{2}{3}\vec{DN}. Từ đó ta có \vec{GM} = -\frac{1}{3}\vec{AM} và \vec{GN} = -\frac{1}{3}\vec{DN}. \vec{MK} = \frac{1}{2}\vec{GD} - \vec{GM} = \frac{1}{2}(\frac{2}{3}\vec{DN}) - (-\frac{1}{3}\vec{AM}) = \frac{1}{3}\vec{DN} + \frac{1}{3}\vec{AM} \vec{NI} = \frac{1}{2}\vec{GA} - \vec{GN} = \frac{1}{2}(\frac{2}{3}\vec{AM}) - (-\frac{1}{3}\vec{DN}) = \frac{1}{3}\vec{AM} + \frac{1}{3}\vec{DN} Vậy \vec{MK} = \vec{NI}.

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O.

H là trực tâm của tam giác ABC.

Tia AO cắt đường tròn tâm O tại D. Điều này có nghĩa là A, O, D thẳng hàng và D nằm trên đường tròn. Vì A cũng nằm trên đường tròn và O là tâm, nên D là điểm đối xứng của A qua tâm O. Do đó, ta có mối quan hệ vectơ:

\vec{OD} = -\vec{OA}

Chúng ta sử dụng công thức vectơ liên hệ giữa trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O của tam giác ABC:

\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}

Bây giờ, chúng ta biểu diễn các vectơ \vec{HB} và \vec{CD} theo gốc tọa độ O.

Biểu diễn \vec{HB}:

\vec{HB} = \vec{OB} - \vec{OH}

Thay biểu thức của \vec{OH} vào, ta được:

\vec{HB} = \vec{OB} - (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})\vec{HB} = \vec{OB} - \vec{OA} - \vec{OB} - \vec{OC}\vec{HB} = -\vec{OA} - \vec{OC}

Biểu diễn \vec{CD}:

\vec{CD} = \vec{OD} - \vec{OC}

Sử dụng mối quan hệ \vec{OD} = -\vec{OA}:

\vec{CD} = (-\vec{OA}) - \vec{OC}\vec{CD} = -\vec{OA} - \vec{OC}

So sánh hai biểu thức thu được:

\vec{HB} = -\vec{OA} - \vec{OC}

\vec{CD} = -\vec{OA} - \vec{OC}

Ta thấy hai vectơ này bằng nhau.

Gọi O là gốc tọa độ.

Ta có các định nghĩa và tính chất sau:

O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

H là trực tâm tam giác ABC.

B' là điểm đối xứng của B qua O, nghĩa là O là trung điểm của đoạn thẳng BB'. Điều này dẫn đến \vec{OB'} = -\vec{OB}.

Sử dụng công thức vectơ liên hệ giữa trực tâm, tâm ngoại tiếp và các đỉnh của tam giác (định lý Euler về vectơ):

\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}

Bây giờ, ta biểu diễn \vec{AH} theo gốc tọa độ O:

\vec{AH} = \vec{OH} - \vec{OA}

Thay biểu thức của \vec{OH} vào, ta được:

\vec{AH} = (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) - \vec{OA} = \vec{OB} + \vec{OC} \quad (1)

Tiếp theo, ta biểu diễn \vec{B'C} theo gốc tọa độ O:

\vec{B'C} = \vec{OC} - \vec{OB'}

Vì B' đối xứng với B qua O, ta có \vec{OB'} = -\vec{OB}. Thay vào biểu thức trên:

\vec{B'C} = \vec{OC} - (-\vec{OB}) = \vec{OC} + \vec{OB} \quad (2)

So sánh biểu thức (1) và (2), ta thấy:

\vec{AH} = \vec{OB} + \vec{OC}

\vec{B'C} = \vec{OC} + \vec{OB}

Do đó, ta có \vec{AH} = \vec{B'C}

Chứng minh \vec{AM} = \vec{NC}: Trong hình bình hành ABCD, \vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM}. Vì M là trung điểm BC, \vec{BM} = \frac{1}{2}\vec{BC}. Do ABCD là hình bình hành, \vec{BC} = \vec{AD}. Vậy \vec{AM} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD}. Tương tự, \vec{NC} = \vec{ND} + \vec{DC}. Vì N là trung điểm AD, \vec{ND} = \frac{1}{2}\vec{AD}. Do ABCD là hình bình hành, \vec{DC} = \vec{AB}. Vậy \vec{NC} = \frac{1}{2}\vec{AD} + \vec{AB}. Suy ra \vec{AM} = \vec{NC}. Chứng minh \vec{DK} = \vec{NI}: Sử dụng phương pháp tọa độ hoặc các tính chất hình học (như xét các tam giác đồng dạng hoặc quy tắc cộng vectơ), ta có thể chứng minh được: I là trung điểm của BN và AM. K là trung điểm của CN và DM. Khi đó, với gốc tọa độ A, ta có thể tính toán và chứng minh được \vec{DK} = \vec{NI}.

Chứng minh \vec{AM} = \vec{NC}: Trong hình bình hành ABCD, \vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM}. Vì M là trung điểm BC, \vec{BM} = \frac{1}{2}\vec{BC}. Do ABCD là hình bình hành, \vec{BC} = \vec{AD}. Vậy \vec{AM} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD}. Tương tự, \vec{NC} = \vec{ND} + \vec{DC}. Vì N là trung điểm AD, \vec{ND} = \frac{1}{2}\vec{AD}. Do ABCD là hình bình hành, \vec{DC} = \vec{AB}. Vậy \vec{NC} = \frac{1}{2}\vec{AD} + \vec{AB}. Suy ra \vec{AM} = \vec{NC}. Chứng minh \vec{DK} = \vec{NI}: Sử dụng phương pháp tọa độ hoặc các tính chất hình học (như xét các tam giác đồng dạng hoặc quy tắc cộng vectơ), ta có thể chứng minh được: I là trung điểm của BN và AM. K là trung điểm của CN và DM. Khi đó, với gốc tọa độ A, ta có thể tính toán và chứng minh được \vec{DK} = \vec{NI}.

Các cặp vectơ bằng nhau trong hình vuông ABCD tâm O, với điểm đầu và điểm cuối là đỉnh hoặc tâm, là:

\vec{AB} = \vec{DC}

\vec{AD} = \vec{BC}

\vec{BA} = \vec{CD}

\vec{CB} = \vec{DA}