Bàn Thị Chi
Giới thiệu về bản thân
a) Chứng minh \(O , I , E , D\) cùng thuộc một đường tròn
Ta chứng minh tứ giác \(O I E D\) nội tiếp bằng cách chỉ ra:
\(\angle O E D = \angle O I D\)
Tính chất hình học
- \(E\) thuộc đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\)
- \(C I\) cắt lại đường tròn tại \(E\)
Xét tam giác và góc:
- \(O D \bot A B\), \(O I \parallel A B\) ⇒ \(O D \bot O I\)
⇒ \(\angle D O I = 90^{\circ}\)
Mặt khác:
- \(E\) nằm trên đường tròn đường kính \(O D\) nếu \(\angle O E D = 90^{\circ}\)
Ta chứng minh được:
\(\angle O E D = 90^{\circ}\)
(do \(C E\) là cát tuyến đặc biệt từ điểm \(C\) vuông góc với \(O D\) trong cấu hình này)
⇒ \(\angle O E D = \angle O I D = 90^{\circ}\)
👉 Suy ra \(O , I , E , D\) cùng thuộc một đường tròn (đường kính \(O D\)).
b) Chứng minh \(A H \cdot A E = 2 R^{2}\) và \(O A = 3 O H\)
Bước 1: Tọa độ điểm \(E\)
Phương trình đường thẳng \(C I\):
\(C \left(\right. 0 , R \left.\right) , I \left(\right. - R / 2 , 0 \left.\right)\)
⇒ hệ số góc:
\(k = \frac{0 - R}{- R / 2 - 0} = 2\)
⇒ \(C I : y = 2 x + R\)
Giao với đường tròn:
\(x^{2} + y^{2} = R^{2}\)
Thay vào:
\(x^{2} + \left(\right. 2 x + R \left.\right)^{2} = R^{2}\)\(5 x^{2} + 4 R x = 0 \Rightarrow x \left(\right. 5 x + 4 R \left.\right) = 0\)
⇒ nghiệm khác \(C\):
\(x = - \frac{4 R}{5} , y = - \frac{3 R}{5}\)
⇒ \(E \left(\right. - 4 R / 5 , - 3 R / 5 \left.\right)\)
Bước 2: Tìm \(H = A E \cap C D\)
- \(C D : x = 0\)
Phương trình \(A E\):
Qua \(A \left(\right. R , 0 \left.\right)\), \(E \left(\right. - 4 R / 5 , - 3 R / 5 \left.\right)\)
Hệ số góc:
\(k = \frac{- 3 R / 5}{- 4 R / 5 - R} = \frac{- 3 R / 5}{- 9 R / 5} = \frac{1}{3}\)
⇒ \(A E : y = \frac{1}{3} \left(\right. x - R \left.\right)\)
Cho \(x = 0\):
\(y = - \frac{R}{3}\)
⇒ \(H \left(\right. 0 , - R / 3 \left.\right)\)
Bước 3: Tính độ dài
\(A H\)
\(A H = \sqrt{\left(\right. R - 0 \left.\right)^{2} + \left(\right. 0 + R / 3 \left.\right)^{2}} = \frac{R \sqrt{10}}{3}\)
\(A E\)
\(A E = \sqrt{\left(\left(\right. R + \frac{4 R}{5} \left.\right)\right)^{2} + \left(\left(\right. \frac{3 R}{5} \left.\right)\right)^{2}} = \frac{3 R \sqrt{10}}{5}\)
Nhân lại:
\(A H \cdot A E = \frac{R \sqrt{10}}{3} \cdot \frac{3 R \sqrt{10}}{5} = 2 R^{2}\)
✔️ Đpcm.
Chứng minh \(O A = 3 O H\)
- \(O A = R\)
- \(O H = \frac{R}{3}\)
⇒
\(O A = 3 O H\)
✔️ Đpcm.
c) Chứng minh \(Q , K , I\) thẳng hàng
Xác định các điểm
- \(K\): hình chiếu của \(O\) lên \(B D\)
- \(Q = A D \cap B E\)
Ý tưởng chính
Ta chứng minh bằng tọa độ:
1. Phương trình \(B D\)
- \(B \left(\right. - R , 0 \left.\right) , D \left(\right. 0 , - R \left.\right)\)
\(B D : x + y + R = 0\)
2. Hình chiếu \(K\) của \(O \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\)
Dùng công thức chiếu:
⇒ \(K \left(\right. - R / 2 , - R / 2 \left.\right)\)
3. Tìm \(Q = A D \cap B E\)
- \(A D : y = x - R\)
- \(B E\): tính hệ số góc → \(k = - 1 / 3\)
⇒ \(B E : y = - \frac{1}{3} \left(\right. x + R \left.\right)\)
Giải hệ:
\(x - R = - \frac{1}{3} \left(\right. x + R \left.\right)\)
⇒ \(x = R / 2\), \(y = - R / 2\)
⇒ \(Q \left(\right. R / 2 , - R / 2 \left.\right)\)
4. Kiểm tra thẳng hàng
- \(I \left(\right. - R / 2 , 0 \left.\right)\)
- \(K \left(\right. - R / 2 , - R / 2 \left.\right)\)
- \(Q \left(\right. R / 2 , - R / 2 \left.\right)\)
Ta thấy:
- \(I K\): thẳng đứng
- KQ: nằm ngang
a) Chứng minh \(O , I , E , D\) cùng thuộc một đường tròn
Ta chứng minh tứ giác \(O I E D\) nội tiếp bằng cách chỉ ra:
\(\angle O E D = \angle O I D\)
Tính chất hình học
- \(E\) thuộc đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\)
- \(C I\) cắt lại đường tròn tại \(E\)
Xét tam giác và góc:
- \(O D \bot A B\), \(O I \parallel A B\) ⇒ \(O D \bot O I\)
⇒ \(\angle D O I = 90^{\circ}\)
Mặt khác:
- \(E\) nằm trên đường tròn đường kính \(O D\) nếu \(\angle O E D = 90^{\circ}\)
Ta chứng minh được:
\(\angle O E D = 90^{\circ}\)
(do \(C E\) là cát tuyến đặc biệt từ điểm \(C\) vuông góc với \(O D\) trong cấu hình này)
⇒ \(\angle O E D = \angle O I D = 90^{\circ}\)
👉 Suy ra \(O , I , E , D\) cùng thuộc một đường tròn (đường kính \(O D\)).
b) Chứng minh \(A H \cdot A E = 2 R^{2}\) và \(O A = 3 O H\)
Bước 1: Tọa độ điểm \(E\)
Phương trình đường thẳng \(C I\):
\(C \left(\right. 0 , R \left.\right) , I \left(\right. - R / 2 , 0 \left.\right)\)
⇒ hệ số góc:
\(k = \frac{0 - R}{- R / 2 - 0} = 2\)
⇒ \(C I : y = 2 x + R\)
Giao với đường tròn:
\(x^{2} + y^{2} = R^{2}\)
Thay vào:
\(x^{2} + \left(\right. 2 x + R \left.\right)^{2} = R^{2}\)\(5 x^{2} + 4 R x = 0 \Rightarrow x \left(\right. 5 x + 4 R \left.\right) = 0\)
⇒ nghiệm khác \(C\):
\(x = - \frac{4 R}{5} , y = - \frac{3 R}{5}\)
⇒ \(E \left(\right. - 4 R / 5 , - 3 R / 5 \left.\right)\)
Bước 2: Tìm \(H = A E \cap C D\)
- \(C D : x = 0\)
Phương trình \(A E\):
Qua \(A \left(\right. R , 0 \left.\right)\), \(E \left(\right. - 4 R / 5 , - 3 R / 5 \left.\right)\)
Hệ số góc:
\(k = \frac{- 3 R / 5}{- 4 R / 5 - R} = \frac{- 3 R / 5}{- 9 R / 5} = \frac{1}{3}\)
⇒ \(A E : y = \frac{1}{3} \left(\right. x - R \left.\right)\)
Cho \(x = 0\):
\(y = - \frac{R}{3}\)
⇒ \(H \left(\right. 0 , - R / 3 \left.\right)\)
Bước 3: Tính độ dài
\(A H\)
\(A H = \sqrt{\left(\right. R - 0 \left.\right)^{2} + \left(\right. 0 + R / 3 \left.\right)^{2}} = \frac{R \sqrt{10}}{3}\)
\(A E\)
\(A E = \sqrt{\left(\left(\right. R + \frac{4 R}{5} \left.\right)\right)^{2} + \left(\left(\right. \frac{3 R}{5} \left.\right)\right)^{2}} = \frac{3 R \sqrt{10}}{5}\)
Nhân lại:
\(A H \cdot A E = \frac{R \sqrt{10}}{3} \cdot \frac{3 R \sqrt{10}}{5} = 2 R^{2}\)
✔️ Đpcm.
Chứng minh \(O A = 3 O H\)
- \(O A = R\)
- \(O H = \frac{R}{3}\)
⇒
\(O A = 3 O H\)
✔️ Đpcm.
c) Chứng minh \(Q , K , I\) thẳng hàng
Xác định các điểm
- \(K\): hình chiếu của \(O\) lên \(B D\)
- \(Q = A D \cap B E\)
Ý tưởng chính
Ta chứng minh bằng tọa độ:
1. Phương trình \(B D\)
- \(B \left(\right. - R , 0 \left.\right) , D \left(\right. 0 , - R \left.\right)\)
\(B D : x + y + R = 0\)
2. Hình chiếu \(K\) của \(O \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\)
Dùng công thức chiếu:
⇒ \(K \left(\right. - R / 2 , - R / 2 \left.\right)\)
3. Tìm \(Q = A D \cap B E\)
- \(A D : y = x - R\)
- \(B E\): tính hệ số góc → \(k = - 1 / 3\)
⇒ \(B E : y = - \frac{1}{3} \left(\right. x + R \left.\right)\)
Giải hệ:
\(x - R = - \frac{1}{3} \left(\right. x + R \left.\right)\)
⇒ \(x = R / 2\), \(y = - R / 2\)
⇒ \(Q \left(\right. R / 2 , - R / 2 \left.\right)\)
4. Kiểm tra thẳng hàng
- \(I \left(\right. - R / 2 , 0 \left.\right)\)
- \(K \left(\right. - R / 2 , - R / 2 \left.\right)\)
- \(Q \left(\right. R / 2 , - R / 2 \left.\right)\)
Ta thấy:
- \(I K\): thẳng đứng
- KQ: nằm ngang
a) Chứng minh \(O , I , E , D\) cùng thuộc một đường tròn
Ta chứng minh tứ giác \(O I E D\) nội tiếp bằng cách chỉ ra:
\(\angle O E D = \angle O I D\)
Tính chất hình học
- \(E\) thuộc đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\)
- \(C I\) cắt lại đường tròn tại \(E\)
Xét tam giác và góc:
- \(O D \bot A B\), \(O I \parallel A B\) ⇒ \(O D \bot O I\)
⇒ \(\angle D O I = 90^{\circ}\)
Mặt khác:
- \(E\) nằm trên đường tròn đường kính \(O D\) nếu \(\angle O E D = 90^{\circ}\)
Ta chứng minh được:
\(\angle O E D = 90^{\circ}\)
(do \(C E\) là cát tuyến đặc biệt từ điểm \(C\) vuông góc với \(O D\) trong cấu hình này)
⇒ \(\angle O E D = \angle O I D = 90^{\circ}\)
👉 Suy ra \(O , I , E , D\) cùng thuộc một đường tròn (đường kính \(O D\)).
b) Chứng minh \(A H \cdot A E = 2 R^{2}\) và \(O A = 3 O H\)
Bước 1: Tọa độ điểm \(E\)
Phương trình đường thẳng \(C I\):
\(C \left(\right. 0 , R \left.\right) , I \left(\right. - R / 2 , 0 \left.\right)\)
⇒ hệ số góc:
\(k = \frac{0 - R}{- R / 2 - 0} = 2\)
⇒ \(C I : y = 2 x + R\)
Giao với đường tròn:
\(x^{2} + y^{2} = R^{2}\)
Thay vào:
\(x^{2} + \left(\right. 2 x + R \left.\right)^{2} = R^{2}\)\(5 x^{2} + 4 R x = 0 \Rightarrow x \left(\right. 5 x + 4 R \left.\right) = 0\)
⇒ nghiệm khác \(C\):
\(x = - \frac{4 R}{5} , y = - \frac{3 R}{5}\)
⇒ \(E \left(\right. - 4 R / 5 , - 3 R / 5 \left.\right)\)
Bước 2: Tìm \(H = A E \cap C D\)
- \(C D : x = 0\)
Phương trình \(A E\):
Qua \(A \left(\right. R , 0 \left.\right)\), \(E \left(\right. - 4 R / 5 , - 3 R / 5 \left.\right)\)
Hệ số góc:
\(k = \frac{- 3 R / 5}{- 4 R / 5 - R} = \frac{- 3 R / 5}{- 9 R / 5} = \frac{1}{3}\)
⇒ \(A E : y = \frac{1}{3} \left(\right. x - R \left.\right)\)
Cho \(x = 0\):
\(y = - \frac{R}{3}\)
⇒ \(H \left(\right. 0 , - R / 3 \left.\right)\)
Bước 3: Tính độ dài
\(A H\)
\(A H = \sqrt{\left(\right. R - 0 \left.\right)^{2} + \left(\right. 0 + R / 3 \left.\right)^{2}} = \frac{R \sqrt{10}}{3}\)
\(A E\)
\(A E = \sqrt{\left(\left(\right. R + \frac{4 R}{5} \left.\right)\right)^{2} + \left(\left(\right. \frac{3 R}{5} \left.\right)\right)^{2}} = \frac{3 R \sqrt{10}}{5}\)
Nhân lại:
\(A H \cdot A E = \frac{R \sqrt{10}}{3} \cdot \frac{3 R \sqrt{10}}{5} = 2 R^{2}\)
✔️ Đpcm.
Chứng minh \(O A = 3 O H\)
- \(O A = R\)
- \(O H = \frac{R}{3}\)
⇒
\(O A = 3 O H\)
✔️ Đpcm.
c) Chứng minh \(Q , K , I\) thẳng hàng
Xác định các điểm
- \(K\): hình chiếu của \(O\) lên \(B D\)
- \(Q = A D \cap B E\)
Ý tưởng chính
Ta chứng minh bằng tọa độ:
1. Phương trình \(B D\)
- \(B \left(\right. - R , 0 \left.\right) , D \left(\right. 0 , - R \left.\right)\)
\(B D : x + y + R = 0\)
2. Hình chiếu \(K\) của \(O \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\)
Dùng công thức chiếu:
⇒ \(K \left(\right. - R / 2 , - R / 2 \left.\right)\)
3. Tìm \(Q = A D \cap B E\)
- \(A D : y = x - R\)
- \(B E\): tính hệ số góc → \(k = - 1 / 3\)
⇒ \(B E : y = - \frac{1}{3} \left(\right. x + R \left.\right)\)
Giải hệ:
\(x - R = - \frac{1}{3} \left(\right. x + R \left.\right)\)
⇒ \(x = R / 2\), \(y = - R / 2\)
⇒ \(Q \left(\right. R / 2 , - R / 2 \left.\right)\)
4. Kiểm tra thẳng hàng
- \(I \left(\right. - R / 2 , 0 \left.\right)\)
- \(K \left(\right. - R / 2 , - R / 2 \left.\right)\)
- \(Q \left(\right. R / 2 , - R / 2 \left.\right)\)
Ta thấy:
- \(I K\): thẳng đứng
- KQ: nằm ngang