) Xét ΔAPQ và ΔBPM có:

PA = PB (vì P là trung điểm của AB)

ˆAPQ=ˆBPM (hai góc đối đỉnh)

ˆQAP=ˆMBP (hai góc so le trong)

Suy ra ΔAPQ=ΔBPM (g.c.g)

Suy ra PQ = PM.

Do đó AQBM là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).

Mà ˆQAM=90∘ (do AQ⊥AM) nên AQBM là hình chữ nhật.

b,Xét tam giác AQB vuông tại Q có P là trung điểm của AB nên QP là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền, suy ra QP=AB2.

Xét tam giác ABI vuông tại I có P là trung điểm của AB nên IP là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền, suy ra PI=AB2

Do đó QP=PI(=AB2) nên tam giác PIQ cân tại P.

Xét ΔABC có BM là đường trung tuyến ứng với cạnh AC mà BM=12AC⇒ΔABC vuông tại B

Tứ giác ABCD có ˆA=ˆD=ˆB=90o⇒ Tứ giác ABCD là hình chữ nhật

Xét tứ giác AHCD có 

I là trung điểm của đường chéo AC

I là trung điểm của đường chéo HD

Do đó: AHCD là hình bình hành

mà \(\hat{A H C} = 9 0^{0}\)

nên AHCD là hình chữ nhật