a) Ax vuông góc AC

By // AC

M là giao điểm của Ax và By

Từ đó suy ra Ax vuông góc với By(vì Ax vuông góc với AC và By // AC)

Do đó góc AMB=90°

Vì By // AC,mà M thuộc By và Q thuộc AC ,nên MQ//AB

P là trung điểm của AB

MP cắt AC tại Q

Ta có Ax vuông góc AC và By //AC ,suy ra Ax vuông góc By .Do đó góc AMB =90°

Vì By //AC và AB là cát tuyến nên góc BAM = góc ABM (so le trong)

Tứ giác AMBQ

AM//BQ (vì Ax //By và M,Q lần lượt nằm trên Ax,By)

AQ//MB (vì AC//By và Q,M lần lượt nằm trên AC,By)

Do đó AMBQ là hình bình hành lại có góc AMB=90°, nên AMBQ là hình chữ nhật

b) Vì AMBQ là hình chữ nhật (theo câu a),nên P là trung điểm của AB cũng là trung điểm của MQ

Trong tam giác AMB vuông tại M ,MP là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB,nên MP =PA =PB=1/2 AB

Trong tam giác AIB vuông tại I ,IP là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB ,nên IP =PA=PB=1/2 AB

Từ đó suy ra MP=IP

PQ=PI

Vì MP cắt AC tại Q ,và By //AC ,P là trung điểm AB

Trong tam giác ABQ ,P là trung điểm AB.PQ //BM (vì AC//By và Q thuộc AC ,M thuộc By)

Do đó ,Q là trung điểm của AM

Trong tam giác AIM vuông tại I,IQ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AM ,nên IQ=QA=QM=1/2AM

Tuy nhiên ,ta cần chứng minh PI,PQ

Xét tam giác ABQ và tam giác BPM

AP=BP ( vì P là trung điểm AB)

Góc PAQ =góc PBM (so le trong,AC//By)

AQ =BM (vì AMBQ là hình chữ nhật)

Do đó tam giác ABQ=BPM(c.g.c)

Suy ra PQ=PM

Mà PI=PM(chứng minh trên)

Vậy PI=PQ

Trong tam giác ABC,M là trung điểm của AC.Theo giả thiết ,BM=1/2AC

Vì ABCD là hình thang vuông với góc A=góc D=90°,và tam giác ABC vuông tại B,ta có góc B=90°

Một tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật

Do đó ,tứ giác ABCD có góc A=góc D=góc B=90°(tổng các góc trong tứ giác =360°)vậy tứ giác ABCD là hình chữ nhật

Xét tứ giác AHCD có

I là trung điểm của AC

D thuộc tia HI ,IH=ID

Suy ra I là trung điểm của HD

Vì I là trung điểm của 2 đường chéo AC và HD của tứ giác AHCD nên AHCD là hình bình hành

AH là đường cao của tam giác ABC,suy ra AH vuông góc BC tại Hà

Do đó góc AHC=90° nên AHCD là hình chữ nhật