Ý tưởng: viết số dưới dạng \(n = 3 q + r\) với \(r \in \left{\right. 0 , 1 , 2 \left.\right}\). Hai số cùng phần dư \(r\) có hiệu bằng \(3\) lần hiệu các \(q\). Do đó để tìm \(x - y \in \left{\right. 3 , 6 , 9 \left.\right}\) ta chỉ cần tìm trong cùng một lớp dư hai giá trị \(q\) sao cho hiệu của chúng là \(1 , 2\) hoặc \(3\).

Bây giờ phân tích kích thước lớn nhất của một tập con trong một lớp dư mà không chứa hai \(q\) cách nhau ít hơn hoặc bằng \(3\).
Các \(q\) có thể nhận các giá trị \(0 , 1 , \ldots , 668\) (vì \(3 \cdot 668 + 2 = 2006\)). Nếu ta muốn tránh mọi cặp có hiệu \(\leq 3\) thì khoảng cách nhỏ nhất giữa hai \(q\) phải là \(4\). Do đó cực đại một tập như vậy có thể chứa các chỉ số cách nhau 4: ví dụ \(0 , 4 , 8 , \ldots\) hoặc \(1 , 5 , 9 , \ldots\). Số phần tử lớn nhất khi chọn như vậy là

\(\lfloor \frac{668}{4} \rfloor + 1 = 167 + 1 = 168.\)

Vậy trong mỗi lớp dư (r = 0,1,2) ta có thể chọn tối đa \(168\) số (theo giá trị \(q\)) mà không tạo được hiệu \(1 , 2\) hoặc \(3\) của các \(q\).

Nếu ta muốn toàn bộ tập \(X\) không chứa cặp có hiệu \(3 , 6\) hoặc \(9\), thì trong mỗi lớp dư chỉ được chọn tối đa \(168\) phần tử. Do đó tổng số phần tử lớn nhất có thể có mà vẫn tránh được các hiệu \(3 , 6 , 9\) là

\(3 \cdot 168 = 504.\)

Nhưng giả thiết cho rằng \(X\) gồm 700 số nguyên dương khác nhau (và \(\leq 2006\)). Vì \(700 > 504\), theo nguyên lý Dirichlet (pigeonhole) không thể tránh được: phải có ít nhất một lớp dư chứa ít nhất hai \(q\) có hiệu bằng \(1\), \(2\) hoặc \(3\). Từ đó ta thu được hai số \(x , y \in X\) cùng lớp dư sao cho \(x - y = 3\), hoặc \(6\), hoặc \(9\).

Vậy đã chứng minh: trong mọi tập \(X\) thỏa giả thiết luôn tìm được hai phần tử \(x , y\) với \(x - y \in \left{\right. 3 , 6 , 9 \left.\right}\). ∎