a) \(A B C D\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(A C , B D\) cắt nhau tại \(O\) là trung điểm của mỗi đường.

Xét \(\Delta O B M\) và \(\Delta O D P\) có:

     \(O B = O D\) ( giả thiết)

     \(\hat{O B M} = \hat{O D P}\) (so le trong)

     \(\hat{B O M} = \hat{D O P}\) (đối đỉnh)

Vậy \(\Delta O B M = \Delta O D P\) (g.c.g)

Suy ra \(O M = O P\) (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự \(\Delta O A Q = \Delta O C N\) (g.c.g) suy ra \(O Q = O N\) (hai cạnh tương ứng)

\(M N P Q\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

b) Hình bình hành \(M N P Q\) có hai đường chéo \(M P ⊥ N Q\) nên là hình thoi.

a) \(A B C D\) là hình bình hành nên \(A B = D C\) suy ra \(\frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} D C\)

Do đó \(A M = B M = D N = C N\).

Tứ giác \(A M C N\) có \(A M\) // \(N C , A M = N C\) nên là hình bình hành.

Lại có \(\Delta A D C\) vuông tại \(A\) có \(A N\) là đường trung tuyến nên \(A N = \frac{1}{2} D C = D N = C N\).

Hình bình hành \(A M C N\) có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi, khi đó hai đường chéo \(A C , M N\) vuông góc với nhau.

Tứ giác \(A M C N\) là hình thoi.

• Vì ABCD là hình thoi nên AB = AD.
• Các góc của hình thoi ABCD: ∠ABC = ∠ADC.
• Theo giả thiết, BE = DF.
• Do đó, theo trường hợp c.g.c, ta có ∆ABE = ∆ADF.
• Từ ∆ABE = ∆ADF, ta suy ra ∠BAE = ∠DAF.
• Do ABCD là hình thoi, đường chéo AC là phân giác của ∠BAD.
• Do ABCD là hình thoi nên BD vuông góc với AC và BD là phân giác của ∠ABC và ∠ADC.
• Trong tam giác ABD, AC là đường trung trực của BD, do đó AC là đường phân giác của góc BAD
• Trong tam giác BCD, đường chéo BD là đường phân giác của ∠BCD.
• Vì AE song song với AF, ta suy ra AG song song với CH.
• Vì tam giác ABE và tam giác ADF bằng nhau, nên AE và AF song song với nhau.
• Do AG và AH lần lượt là giao điểm của AE và AF với BD, nên AH và AG song song với nhau.
• Do ABCD là hình thoi, đường chéo AC là phân giác của ∠BAD.
• Từ đó suy ra AE song song với AF
• Ta đã chứng minh được AG song song với CH và AE song song với AF.
• Vì AGCH có các cặp cạnh đối song song, nên AGCH là hình bình hành.
• Vì ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
• Do đó, hai đường chéo AC và GH cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và vuông góc với nhau.
• Suy ra AGCH là hình thoi.