Nguyễn Thanh Hải
Giới thiệu về bản thân
Ta có:
\(\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} \geq 2\)(dấu “=” khi \(x^{2} = y^{2}\)).
Mặt khác:
\(\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2} \geq 4 x^{2} y^{2} \Rightarrow \frac{4 x^{2} y^{2}}{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} \leq 1\)Do đó:
\(\frac{4 x^{2} y^{2}}{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} + \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} \geq 0 + 2 = 2\)Ta cần chứng minh lớn hơn 3, nên xét:
\(\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{4} + y^{4}}{x^{2} y^{2}}\)Ta có:
\(x^{4} + y^{4} \geq 2 x^{2} y^{2} \Rightarrow \frac{x^{4} + y^{4}}{x^{2} y^{2}} \geq 2\)Xét tổng:
\(\frac{4 x^{2} y^{2}}{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} + \frac{x^{4} + y^{4}}{x^{2} y^{2}} = \frac{4 x^{2} y^{2}}{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} + \frac{x^{4} + y^{4}}{x^{2} y^{2}}\)Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc:
\(\frac{x^{4} + y^{4}}{x^{2} y^{2}} \geq 2 + \frac{\left(\right. x^{2} - y^{2} \left.\right)^{2}}{x^{2} y^{2}}\)Suy ra:
\(\frac{4 x^{2} y^{2}}{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} + \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} \geq 1 + 2 = 3\)Vậy:
\(\frac{4 x^{2} y^{2}}{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} + \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} \geq 3.\)Ta có:
\(\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} \geq 2\)(dấu “=” khi \(x^{2} = y^{2}\)).
Mặt khác:
\(\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2} \geq 4 x^{2} y^{2} \Rightarrow \frac{4 x^{2} y^{2}}{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} \leq 1\)Do đó:
\(\frac{4 x^{2} y^{2}}{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} + \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} \geq 0 + 2 = 2\)Ta cần chứng minh lớn hơn 3, nên xét:
\(\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{4} + y^{4}}{x^{2} y^{2}}\)Ta có:
\(x^{4} + y^{4} \geq 2 x^{2} y^{2} \Rightarrow \frac{x^{4} + y^{4}}{x^{2} y^{2}} \geq 2\)Xét tổng:
\(\frac{4 x^{2} y^{2}}{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} + \frac{x^{4} + y^{4}}{x^{2} y^{2}} = \frac{4 x^{2} y^{2}}{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} + \frac{x^{4} + y^{4}}{x^{2} y^{2}}\)Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc:
\(\frac{x^{4} + y^{4}}{x^{2} y^{2}} \geq 2 + \frac{\left(\right. x^{2} - y^{2} \left.\right)^{2}}{x^{2} y^{2}}\)Suy ra:
\(\frac{4 x^{2} y^{2}}{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} + \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} \geq 1 + 2 = 3\)Vậy:
\(\frac{4 x^{2} y^{2}}{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} + \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} \geq 3.\)a)
Vì \(\triangle A B C\) vuông tại \(A\) nên \(\angle A = 90^{\circ}\).
Lại có \(A H \bot B C\) nên \(\angle A H B = 90^{\circ}\).
Xét hai tam giác \(\triangle A B C\) và \(\triangle H B A\):
- \(\angle A = \angle A H B = 90^{\circ}\)
- \(\angle A B C = \angle H B A\) (góc chung tại \(B\))
Suy ra \(\triangle A B C sim \triangle H B A\) (g.g).
Từ đó:
\(\frac{A B}{B C} = \frac{B H}{A B} \Rightarrow A B^{2} = B C \cdot B H\)b)
Gọi \(I\) là trung điểm của \(E D\) nên:
\(E I = I D\)Xét tam giác \(E A B\), do \(B E\) là phân giác góc \(A B C\) nên:
\(\frac{E A}{E D} = \frac{B A}{B D}\)từ tính chất đường cao trong tam giác vuông và các tam giác đồng dạng, suy ra:
\(\frac{B A}{B D} = \frac{E H}{E A}\)Do đó:
\(\frac{E A}{E D} = \frac{E H}{E A} \Rightarrow E A^{2} = E H \cdot E D\)Vì \(E I = \frac{E D}{2}\), ta có:
\(E I \cdot E B = E H \cdot E A\)Gọi quãng đường \(A B = d\) (km).(d thuộc N*)
- Thời gian đi: \(\frac{d}{15}\) (giờ)
- Thời gian về: \(\frac{d}{12}\) (giờ)
Theo đề bài: thời gian về nhiều hơn thời gian đi 45 phút = \(\frac{3}{4}\) giờ.
Ta có phương trình:
\(\frac{d}{12} - \frac{d}{15} = \frac{3}{4}\)
Quy đồng:
\(\frac{5 d - 4 d}{60} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{d}{60} = \frac{3}{4}\)
Giải ra:
\(d = 60 \times \frac{3}{4} = 45\)
Vậy quãng đường \(A B = 45\) km.
a) Rút gọn A
A = (3x + 15)/(x² − 9) + 1/(x + 3) − 2/(x − 3)
x² − 9 = (x − 3)(x + 3)
A = (3x + 15)/[(x − 3)(x + 3)] + (x − 3)/[(x − 3)(x + 3)] − 2(x + 3)/[(x − 3)(x + 3)]
A = [3x + 15 + (x − 3) − 2(x + 3)] / [(x − 3)(x + 3)]
= (3x + 15 + x − 3 − 2x − 6) / [(x − 3)(x + 3)]
= (2x + 6) / [(x − 3)(x + 3)]
= 2(x + 3)/[(x − 3)(x + 3)]
A = 2/(x − 3)
b) Tìm x để A = 2/3
2/(x − 3) = 2/3
⇒ x − 3 = 3
⇒ x = 6
(thoả điều kiện x ≠ 3, x ≠ −3)
x = 2,4
y = 9
x = -10
a) Rút gọn:
Ta có:
2x/(3x+1) − 1 = (2x − (3x+1))/(3x+1) = (−x − 1)/(3x+1)
Và:
1 − 8x²/(9x² − 1) = (9x² − 1 − 8x²)/(9x² − 1) = (x² − 1)/(9x² − 1)
Phân tích:
x² − 1 = (x − 1)(x + 1)
9x² − 1 = (3x − 1)(3x + 1)
⇒ P = [ (−x − 1)/(3x+1) ] : [ (x−1)(x+1)/((3x−1)(3x+1)) ]
= [ (−x − 1)/(3x+1) ] × [ (3x−1)(3x+1)/((x−1)(x+1)) ]
Rút gọn (3x+1) và (x+1):
= −(3x − 1)/(x − 1)
b) Thay x = 2:
P = −(3·2 − 1)/(2 − 1)
= −(6 − 1)/1
= −5
Bài 1:
a)
\(\frac{2 y - 1}{y} - \frac{2 x + 1}{x} = \frac{x \left(\right. 2 y - 1 \left.\right) - y \left(\right. 2 x + 1 \left.\right)}{x y}\) \(= \frac{2 x y - x - 2 x y - y}{x y} = \frac{- \left(\right. x + y \left.\right)}{x y}\)
b)
\(\frac{2 x}{3} : \frac{5}{6 x^{2}} = \frac{2 x}{3} \times \frac{6 x^{2}}{5}\) \(= \frac{12 x^{3}}{15} = \frac{4 x^{3}}{5}\)