a,Vì ABCD là hình bình hành, theo tính chất ta có:

AB // CD suy ra AE // DF

AB = CD

Theo giả thiết về trung điểm:

B là trung điểm củaAE=>AE = 2AB

C là trung điểm của DF=>DF = 2CD

Mà AB = CD, suy ra AE = DFvà AB = BC = CD = CF (do tính chất trung điểm).

Xét tứ giác AEFD, ta có:

AE // DF (do AB // CD)

AE = DF(chứng minh trên)

Theo định lí 2/sgk-T59 suy ra AEFD là hình bình hành.

Xét tứ giác ABFC, ta có:

AB // CF(doAB // CD)

AB = CF(vì cùng bằng CD)

Theo định lí 2/sgk-T59 suy ra ABFC là hình bình hành

b, Xét hình bình hành ABFC:

Hai đường chéo của hình bình hành này là AF và BC.

Theo tính chất hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Gọi giao điểm này là I. Khi đó, I là trung điểm của AF và cũng là trung điểm của BC(1).

Xét hình bình hành AEFD:

Hai đường chéo của hình bình hành này là AF và DE.

Theo tính chất hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Vì I đã là trung điểm của AF, nên I bắt buộc phải là trung điểm của DE (2).

Từ (1) và (2), ta suy ra điểm I đồng thời là trung điểm của cả ba đoạn thẳng AF, DE, và BC.

Vậy trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau (cùng là điểm I)

Vì O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD, theo tính chất hình bình hành ta có:

OA = OC(O là trung điểm của AC)

OB = OD(O là trung điểm của BD)

Xét hai ∆OAMvà ∆OCN, ta có:

Góc AOM= góc CON(hai góc đối đỉnh)

OA = OC(chứng minh trên)

GócMAO = góc NCO(hai góc so le trong, do AB // CD)

Vậy ∆OAM = ∆OCN (g.c.g).

Vì ∆OAM=∆OCN, suy ra

OM = ON(hai cạnh tương ứng)

Xét tứ giác MBND, ta có:

O là trung điểm của đường chéo BD(OB = OD)

O là trung điểm của đường chéo MN(OM = ON)

Theo định lí 3/sgk-t60 suy ra ​​tứ giác MBND là hình bình hành.

a,vì ABCD là hình bình hành, theo tính chất ta có

AB // CD,AB = CD

Do E,F lần lượt là trung điểm của AB và CD​​​, ta có

AE = EB = 1/2 AB

DF = FC = 1/2 CD

Suy ra:AE=DF=FC=EB

​​Xét tứ giác AEFD, ta có:

AE // DF(vì AB // CD)

AE = DF(chứng minh trên)

Theo định lí 2/sgk-t59=> tứ giác AEFD là hình bình hành​​

​Xét tứ giác AECF, ta có:

AE // FC(vì AB // CD\)

AE = FC​(chứng minh trên)

Theo định lí 2/sgk-T59=> tứ giác AECF là hình bình hành

b,​​​vì tứ giác AEFD là hình bình hành (chứng minh câu a), nên các cạnh đối của nó phải bằng nhau.

Suy ra: EF = AD

Vì tứ giác AECF là hình bình hành (chứng minh câu a), nên các cạnh đối của nó phải bằng nhau.

Suy ra: AF = EC​