a)

 Ta có:

 AH vuông góc với BD tại H

 CK vuông góc với BD tại K

=> AH // CK (vì cùng vuông góc với BD).

 Vì ABCD là hình bình hành nên AD // BC => góc ADH = góc CBK (hai góc so le trong).

 Xét tam giác vuông AHD (vuông tại H) và tam giác vuông CKB (vuông tại K) có:

 AD = BC (tính chất hình bình hành ABCD)

 Góc ADH = góc CBK (chứng minh trên)

=> Tam giác AHD = tam giác CKB (cạnh huyền - góc nhọn).

=> AH = CK (hai cạnh tương ứng).

 Xét tứ giác AHCK có:

 AH // CK (chứng minh trên)

 AH = CK (chứng minh trên)

Vậy tứ giác AHCK là hình bình hành.

b)

 Vì AHCK là hình bình hành nên hai đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

 Mà I là trung điểm của HK nên I cũng là trung điểm của AC.

 Lại có ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

 Do I là trung điểm của AC nên I cũng phải là trung điểm của BD.

Vậy IB = ID.

a)

 Ta có:

 AH vuông góc với BD tại H

 CK vuông góc với BD tại K

=> AH // CK (vì cùng vuông góc với BD).

 Vì ABCD là hình bình hành nên AD // BC => góc ADH = góc CBK (hai góc so le trong).

 Xét tam giác vuông AHD (vuông tại H) và tam giác vuông CKB (vuông tại K) có:

 AD = BC (tính chất hình bình hành ABCD)

 Góc ADH = góc CBK (chứng minh trên)

=> Tam giác AHD = tam giác CKB (cạnh huyền - góc nhọn).

=> AH = CK (hai cạnh tương ứng).

 Xét tứ giác AHCK có:

 AH // CK (chứng minh trên)

 AH = CK (chứng minh trên)

Vậy tứ giác AHCK là hình bình hành.

b)

 Vì AHCK là hình bình hành nên hai đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

 Mà I là trung điểm của HK nên I cũng là trung điểm của AC.

 Lại có ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

 Do I là trung điểm của AC nên I cũng phải là trung điểm của BD.

Vậy IB = ID.

a)

 Ta có:

 AH vuông góc với BD tại H

 CK vuông góc với BD tại K

=> AH // CK (vì cùng vuông góc với BD).

 Vì ABCD là hình bình hành nên AD // BC => góc ADH = góc CBK (hai góc so le trong).

 Xét tam giác vuông AHD (vuông tại H) và tam giác vuông CKB (vuông tại K) có:

 AD = BC (tính chất hình bình hành ABCD)

 Góc ADH = góc CBK (chứng minh trên)

=> Tam giác AHD = tam giác CKB (cạnh huyền - góc nhọn).

=> AH = CK (hai cạnh tương ứng).

 Xét tứ giác AHCK có:

 AH // CK (chứng minh trên)

 AH = CK (chứng minh trên)

Vậy tứ giác AHCK là hình bình hành.

b)

 Vì AHCK là hình bình hành nên hai đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

 Mà I là trung điểm của HK nên I cũng là trung điểm của AC.

 Lại có ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

 Do I là trung điểm của AC nên I cũng phải là trung điểm của BD.

Vậy IB = ID.

Tứ giác ABFC:

 Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AB = CD.

 Vì C là trung điểm DF nên CF = CD.

 Suy ra AB // CF và AB = CF.

=> Tứ giác ABFC là hình bình hành.

 Tứ giác AEFD:

 B là trung điểm AE => AE = 2 * AB.

 C là trung điểm DF => DF = 2 * CD.

 Mà AB // CD và AB = CD => AE // DF và AE = DF.

=> Tứ giác AEFD là hình bình hành.

b) Chứng minh các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau

 Do ABFC là hình bình hành nên đường chéo AF và BC cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường (1).

 Do AEFD là hình bình hành nên đường chéo AF và DE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (2).

 Từ (1) và (2) suy ra I vừa là trung điểm của BC, vừa là trung điểm của AF và DE.

a) Chứng minh tam giác OAM = tam giác OCN

Xét tam giác OAM và tam giác OCN, ta có:

 Góc OAM = góc OCN (hai góc so le trong, do AB // CD)

 OA = OC (vì O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD)

 Góc AOM = góc CON (hai góc đối đỉnh)

Suy ra: tam giác OAM = tam giác OCN (g.c.g).

b) Chứng minh tứ giác MBND là hình bình hành

Vì tam giác OAM = tam giác OCN (chứng minh trên)

=> OM = ON (hai cạnh tương ứng)

=> O là trung điểm của MN.

Lại có O là trung điểm của đường chéo BD (vì ABCD là hình bình hành).

Xét tứ giác MBND có hai đường chéo MN và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Vậy tứ giác MBND là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

 Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AB // CD.  

 Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên:

 Do đó AE = BE = CF = DF.  

 Xét tứ giác AEFD có:  

 AE // DF (vì AB // CD);  

 AE = DF (chứng minh trên).  

 Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.  

 Xét tứ giác AECF có:  

 AE // CF (vì AB // CD);  

 AE = CF (chứng minh trên).  

 Do đó tứ giác AECF là hình bình hành.  

 Vậy hai tứ giác AEFD và AECF là những hình bình hành.  

 b)

 Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD.  

 Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC.  

 Vậy EF = AD và AF = EC.