a) Do \(A B C D\) là hình bình hành nên \(A D\) // \(B C\) và \(A D = B C\).

Do \(A D\) // \(B C\) nên \(\hat{A D B}=\hat{C B D}\) (so le trong)

Xét \(\Delta A D H\) và \(\Delta C B K\) có:

     \(\hat{A H D}=\hat{C K B}=90^{\circ}\);

     \(A D = B C\) (chứng minh trên);

     \(\hat{A D H}=\hat{C B K}\)(do \(\hat{A D B}=\hat{C B D}\)).

Do đó \(\Delta ADH=\Delta CBK\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(A H = C K\) (hai cạnh tương ứng).

Ta có \(AH\bot DB\) và \(CK\bot DB\) nên \(A H\) // \(C K\).

Tứ giác \(A H C K\) có \(A H\) // \(C K\) và \(A H = C K\) nên \(A H C K\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Do \(A H C K\) là hình bình hành (câu a) nên hai đường chéo \(A C\) và \(H K\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà \(I\) là trung điểm của \(H K\) (giả thiết) nên \(I\) là trung điểm của \(A C\).

Do \(A B C D\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà \(I\) là trung điểm của \(A C\) nên \(I\) là trung điểm của \(B D\), hay \(I B = I D\)

Xét tam giác ABC có 2 đg trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G ( GT)

nên G là trọng tâm của ABC

=> GM = GN = GC ( tc trọng tâm của tam giác) (1)

mà P là trung điểm của GB ( GT) nên GP = PB= GB (2)

Q là trung điểm của GC ( GT) nên GQ = QC= GC (3)

Từ (1), (2),(3) suy ra GM = GP và GN = GQ

Xét tứ giác PQMN có

GM = GP

GN = GQ

DO ĐÓ TỨ GIÁC CÓ 2 ĐG CHÉO MP VÀ NQ CẮT NHAU TẠI TRUNG ĐIỂM CỦA MỖI ĐG LÀ HÌNH BÌNH HÀNH

a) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC. Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED; F là trung điểm của BC nên BF = FC. Suy ra DE = BF. Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết). b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD. Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF. Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

a, Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD. Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF. Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF. Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên). Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành. Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên). Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O. Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC. Mà O là trung điểm của AF. Suy ra O cũng là trung điểm của BC. Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

Vì ABCD là hình bình hành nên

2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA= OC, OB=OD

AB // CD nên AM // CN suy ra góc OAM = góc OCN ( 2 góc slt)

Xét tam giác OAM và tam giác OCN có

góc OAM= góc OCN ( CM TRÊN)

OA=OC

GÓC AOM = GÓC CON ( 2 Góc đối đỉnh)

Do đó tam giác OAM = tam giác OCN (gcg)

=> AM = CN ( 2 cạnh tương ứng)

mặt khác AB = CD ( cm trên)

AB = AM + BM ; CD= CN +DN

=> BM = DN

Xét tứ giác MBND có

BM // DN ( vì AB // CD)

BM=DN ( cm trên)

do đó tứ giác MBND là hình bình hành

Vì ABCD là hình bình hành ( GT)

=> AB = CD, AB // CD

Có E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE=BE =1/2 AB

CF= DF= 1/2CD

nên AE=BE=CE=DF

Xét tứ giác AEFD có

AE//FD ( vì AB // CD)

AE= DF ( CM trên)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành

Xét tứ giác AECF có

AE// CF ( vì AB // CD)

AE=CF( CM trên)

=> tứ giác AECF là hình bình hành

b, Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên EF = AD

Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF= EC