x, y, z là các số nguyên và (x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z(A)

Chứng minh: x+y+z chia hết cho 27

Xét TH 1: x=y=z thì VT(A)=0=x+y+z=0 => x=y=z=0 nên VP(A) chia hết cho 27

Xét TH2: x=y, z khác x; y thì VT(A)=0=VP(A) nên VP(A) luôn chia hết cho 27 với các cặp nghiệm (x=y, z); (x, y=z); (x=z, y)

Xét TH3: x, y, z khác nhau.

* Nếu x, y, z đều là các số lẻ thì:

(x-y); (y-z); (z-x) là các số chẵn nên VT(A) là số chẵn nhưng VP(A) là số lẻ

nên TH x, y, z đều là số lẻ không thỏa mãn điều kiện (A)

* Nếu (x, y, z) chia cho 3 ra các số dư khác nhau thì

(x-y); (y-z) và (z-x) đều không chia hết cho 3 nên VT(A)=VP(A) không chia hết cho 3 và không chia hết cho 27

* Nếu (x, y, z) chia cho 3 ra các số dư bằng nhau thì

(x-y); (y-z) và (z-x) đều chia hết cho 3 nên VT(A)=VP(A) chia hết cho 27

Nghiệm để VT(A)=Vp(A) chia hết cho 27 là

(x, y, z)=(0, 0, 0) hoặc (x=y, z=-2x) / (x=-2y, y=z) / (x=z, y=-2x)

hoặc (x, y, z) chia 3 ra các số dư bằng nhau và (x, y, z) ko phải đều là số lẻ